Κυκλική ανισότητα υπό συνθήκη

Κω.Κωνσταντινίδης · #1

Αν

να αποδείξετε ότι $\frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$ .

#2

Θέλουμε $(2a+b^2)(2b+c^2)(2c+a^2) \geqslant a(2b+c^2)(2c+a^2)+b(2c+a^2)(2a+b^2)+c(2a+b^2)(2b+c^2)$

Κάνοντας τις πράξεις μένει να δείξουμε ότι $a^2b^3 + b^2c^3+c^2a^3 + a^2b^2c^2 \geqslant 4abc$ .

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε ότι $29a^2b^3 + 2b^2c^3 + 11c^2a^3 + 14a^2b^2c^2 \geqslant 56a^{9/8}b^{9/8}$ . Προσθέτοντας κυκλικά (και διαιρώντας με 42) παίρνουμε

$\displaystyle a^2b^3 + b^2c^3+c^2a^3 + a^2b^2c^2 \geqslant 4\left(\frac{a^{9/8}b^{9/8}+b^{9/8}c^{9/8}+c^{9/8}a^{9/8}}{3}\right)$

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι $a^{9/8}b^{9/8}+b^{9/8}c^{9/8}+c^{9/8}a^{9/8 \geqslant 1$ . Αυτό προκύπτει από την ανισότητα των δυνάμεων αφού

$\displaystyle \left(\frac{a^{9/8}b^{9/8}+b^{9/8}c^{9/8}+c^{9/8}a^{9/8}}{3}\right)^{8/9} \geqslant \frac{ab+bc+ca}{3} = 1$

Κυκλική ανισότητα υπό συνθήκη

Κυκλική ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Κυκλική ανισότητα υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση