Εξίσωση στους Ακεραίους

Joaakim · #1

Να λύσετε στους ακεραίους την εξίσωση
5x^2+5xy+5y^2=7x+14y

llenny · #2

Καλημέρα. $5x^2 + 5xy + 5y^2 = 7x +14y \Leftrightarrow 5x^2 + x(5y-7) + 5y^2 -14y = 0$ Θεωρούμε τριώνυμο ως προς

. Έχουμε

Έστω

Όμως:

,

. Από Bolzano λοιπόν έχουμε μία ρίζα στο διάστημα (-1,0)

και άλλη μία στο διάστημα (0,4)

, όμως η συνάρτηση μας είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού οπότε δε γίνεται να έχει πάνω από 2 ρίζες, άρα αυτές είναι οι μοναδικές. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε: f(y) < 0: y <-1, y>4

, άρα η συνάρτηση μας διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα αυτά και συγκεκριμένα είναι αρνητική, άρα αρκεί να τσεκάρουμε τις ακέραιες τιμές του

που έμειναν. (Μπορούμε να φράξουμε τις τιμές του

καλύτερα αλλά δε μας χρειάζεται στην προκειμένη περίπτωση). Για y = 0

έχουμε ένα ζεύγος πόυ την ικανοποιεί, το (x,y) = (0,0)

, για

έχουμε

που δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα δεν έχουμε ακέραια λύση, για y = 2

, έχουμε το ζεύγος (x,y) = (1,2)

και για

έχουμε το ζεύγος (x,y) = (-1,3)

. Αυτά είναι λοιπόν τα μόνα ζεύγη ακεραίων (x,y)

που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Είχα βρει λάθος τη διακρίνουσα και για αυτό το λόγο έχανα 2 από τα ζεύγη προηγουμένως. (Μετά από έρευνα που έκανα, συμπέρανα ότι είμαι ανίκανος να βρω τη σωστή διακρίνουσα τη πρώτη φορά που την υπολογίζω

). Χρόνια πολλά.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Χρόνια πολλά και στους 2! Θεωρούμε τριωνυμο ως προς y του οποίου η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική! Άρα x=0

ή

κτλπ.. Χαίρομαι που χριστουγεννιάτικα λύνετε μαθηματικά! Καλές γιορτές!

llenny · #4

Χρονιά πολλά. Κι εγώ το ίδιο έκανα από πάνω απλά με την άλλη μεταβλητή και *φυσικά* με λάθος διακρίνουσα. Το διόρθωσα τώρα και βγαίνει κανονικά.

Joaakim · #5

Λοιπόν μία λύση αποφεύγοντας το τριώνυμο

Για x=0

είναι

και αντίστοιχα για y=0

είναι

οπότε έχουμε τη λύση (x,y)=(0,0)

. Θεωρούμε τώρα ότι x,y

διαφορετικά του

.
Πολλαπλασιάζοντας τώρα και τα δύο μέλη επί

λαμβάνουμε
5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)

Το δεξί μέλος είναι πάντοτε >=0

, οπότε

που δίνει

. Ακόμα είναι 5(x+2y)^2<=28(x+2y)

, απ' όπου βγαίνει
1<=x+2y<=5

.
Αν

τότε

που δίνει

, προφανώς άτοπο.
Αν x+2y=2

τότε

που δίνει

, άτοπο.
Αν x+2y=3

τότε

που δίνει

, άτοπο.
Αν x+2y=4

τότε

που δίνει

, άτοπο.
Αν x+2y=5

τότε

που δίνει

(μετά από τις πράξεις).
Για x=1

παίρνουμε

με

και δεχόμαστε την λύση y=2

.
Για x=-1

παίρνουμε

με

και δεχόμαστε τη λύση y=3

.

Tελικά (x,y)=(0,0),(1,2),(-1,3)

και τελειώσαμε.

Συγγνώμη που σας κούρασα.
Χρόνια Πολλά και καλές γιορτές

.

Edit Βλέπω από την αρχική ότι, αφού το διαιρεί το είναι άμεσο ότι και τα πράγματα είναι πολύ πιο απλά και γρήγορα.

#6

Joaakim έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:54 pm
Να λύσετε στους ακεραίους την εξίσωση

Αφού το αριστερό μέλος είναι θετικό (αρνητική διακρίνουσα) δεν μπορεί τα x,y

που βλέπουμε στο δεξί μέλος να είναι και τα δύο αρνητικά. Εχουμε λοιπόν μόνο τις εκδοχές¨

α) $x,y\ge 0$ . Τότε

$5x(x+y) \le 5x^2+5xy + 5y^2=7x+14y \le 14(x+y)$ , άρα $5x\le 14$ , συνεπώς $0\le x\le 2$ και όμοια $0\le y\le 2$ . Ελέγουμε τώρα με το χέρι, χωριστά, τις λίγες αυτές περιπτώσεις. Άμεσο.

β) $y\le 0\le x$ . Τότε

$0\le 5x^2+5xy + 5y^2=7x+14y \le 7(x+y)$ . Έπεται πρώτα απ' όλα ότι $x+y\le 0$ . Άρα

$5x(x+y) \le 5x^2+5xy + 5y^2=7x+14y \le 7(x+y)$ , οπότε $5x\le 7$ και άρα x=0

ή

και ελέγχουμε με το χέρι τις δύο αυτές περιπτώσεις.

γ) $x\le 0\le y$ . Τότε

$\displaystyle{ \dfrac {15}{4}y^2 \le 5\left (x+ \dfrac {1}{2}y \right ) ^2+\dfrac {15}{4}y^2= 5x^2+5xy + 5y^2 = 7x+14y \le 14y}$ . Αλλά τότε από την πρώτη και την τελευταία είναι $0\le y \le 3$ και ελέγχουμε με το χέρι τις λίγες αυτές περιπτώσεις.

#7

Παίρνοντας από εδώ την ίδεα

Joaakim έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 6:06 pm
Πολλαπλασιάζοντας τώρα και τα δύο μέλη επί λαμβάνουμε

μπορούμε να κάνουμε απλή λύση. Συγκεκριμένα έχουμε

$15x^2 + (x^2+4xy+4y^2) +4(x^2+4xy+4y^2)-4\cdot 7 (x+2y) =0$ άρα

$15 x^2 +(x+2y)^2 + 4(x+2y)^2 -4\cdot 7 (x+2y) +49 = 49$ άρα

15 x^2 +(x+2y)^2 + [2(x+2y)- 7]^2 = 49

, άρα

$15x^2 \le 49$ .

Συνεπώς x^2 <2

, δηλαδή

ή

. Ελέγχουμε τώρα με το χέρι, στην αρχική, τις τρεις αυτές περιπτώσεις. Π.χ. (για να διασταυρώσουμε ότι είναι σωστές οι πράξεις συγκρίνοντας με τις λύσεις που βρήκαν οι παραπάνω) η x=-1

δίνει

, ισοδύναμα 5y^2-19y+12=0

με ρίζες

(δεκτή

) και

(απορρίπτεται). Και λοιπά.

Al.Koutsouridis · #8

Αν κάποιος παρατηρήσει ότι η συγκεκριμένη εξίσωση είναι έλλειψη, τότε μπορεί να οδηγηθεί αυτόματα στο ότι πρέπει να γίνει συμπλήρωση τετραγώνων, όπως κάνει ο κ.Λάμπρου παραπάνω, για να "εγκλωβίσει" τα x,y

. Τα οποία δεν διατρέχουν μεγάλο εύρος, οπότε μπορούμε εύκολα να τα εξαντλήσουμε. Αν επιπλέον δούμε ότι πρέπει x+2y

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

.

Joaakim · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 9:20 pm
Αν κάποιος παρατηρήσει ότι η συγκεκριμένη εξίσωση είναι έλλειψη, τότε μπορεί να οδηγηθεί αυτόματα στο ότι πρέπει να γίνει συμπλήρωση τετραγώνων, όπως κάνει ο κ.Λάμπρου παραπάνω, για να "εγκλωβίσει" τα . Τα οποία δεν διατρέχουν μεγάλο εύρος, οπότε μπορούμε εύκολα να τα εξαντλήσουμε. Αν επιπλέον δούμε ότι πρέπει πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του .

Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε τί είναι έλλειψη?

KARKAR · #10

: Έλλειψη.png (6.49 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Τα τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες , πάνω στην έλλειψη .

Τσιαλας Νικολαος · #11

Ιωακείμ καλησπέρα! Η έλλειψη είναι αυτή η κωνική τομή που σου παρουσίασε ο κύριος KARKAR. Όπως βλέπεις το

και το

παίρνουν συγκεκριμένες τιμές οπότε όπως είπε ο κύριος Αλέξανδρος οι περιπτώσεις έχουν κάποια "φράγματα ". Τις κωνικες τομές μπορείς να τις βρείς στο βιβλίο κατεύνθυσης της Β' λυκείου στο τρίτο κεφάλαιο! Μάλιστα το τέταρτο κεφάλαιο είναι ίσως ότι πιο σημαντικό πρέπει να διδαχτεί ένα παιδί που έχει στόχους και το οποίο είναι εκτός ύλης πολλά χρόνια. Σημαντική σημείωση είναι ότι παρά πολλά θέματα της θεωρίας αριθμών "δευτέρου βαθμού" σαν αυτό πιυ εθεσες έχουν άμεση συσχέτιση με τις κωνικές τομές! Ένα τρανταχτό παράδειγμα αυτού είναι και τα προβλήματα που συσχετίζονται με το "διάσημο" Vieta Jumping!

#12

Καλές γιορτές σε όλους.
Μια ακόμα λύση λίγο διαφορετικά :
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{5(x^2 +xy +y^2 )=7(x+2y)}$ . Άρα ο

διαιρεί τον $\displaystyle{x+2y}$ και συνεπώς $\displaystyle{x+2y=5k, k\in Z}$ .
Άρα $\displaystyle{x=5k - 2y , k\in Z}$ , ΣΧΕΣΗ (1).
Επίσης η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{5(x^2 +4xy +4y^2 -3xy -3y^2)=7(x+2y)\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2 -3y(x+y)]=7(x+2y)}$
και λόγω της σχέσης (1) έχουμε $\displaystyle{5[(5k)^2 -3y(5k-y)]=7.5k}$ και άρα $\displaystyle{3y^2 -15ky +25k^2 -7k =0}$ , ΣΧΕΣΗ (2)
Η διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι $\displaystyle{D=-75k^2 +84k}$ . Από $\displaystyle{D\geq 0}$ , παίρνουμε ότι $\displaystyle{0\leq k\leq \frac{84}{75}}$ και αφού
ο

είναι ακέραιος, έπεται ότι $\displaystyle{k=0}$ ή $\displaystyle{k=1}$ .

Αν $\displaystyle{k=0}$ , τότε η σχέση (2) δίνει $\displaystyle{y=0}$ και η σχέση (1) δίνει χ=0 (τιμές που επαληθεύουν την αρχική)

Αν $\displaystyle{k=1}$ , τότε η σχέση (2) δίνει $\displaystyle{y=2}$ (και από (1) $\displaystyle{x=1}$ ) ή $\displaystyle{y=3}$ (και από (1) $\displaystyle{x=-1}$ ), τιμές επίσης που επαληθεύουν
την αρχική

Τσιαλας Νικολαος · #13

llenny έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 4:09 pm
Χρονιά πολλά. Κι εγώ το ίδιο έκανα από πάνω απλά με την άλλη μεταβλητή και *φυσικά* με λάθος διακρίνουσα. Το διόρθωσα τώρα και βγαίνει κανονικά.

Καλησπέρα και πάλι σε όλους και ιδιαίτερα στον νέο φίλο μας Ιωακείμ! Πριν λίγο ξαναέλυσα την άσκηση με ένα groupaki μαθητών 6ης δημοτικού και 1ης γυμνασίου. Παρατηρήσαμε λοιπόν ότι λύνοντας ως προς

θα πρέπει να κάνουμε όλη την πορεία που ακολούθησε ο Ιωακείμ αλλά λύνοντας ως προς

η διακρίνουσα βγαίνει πολύ πιο απλή και επιλύεται με απλή ανίσωση! Όποτε Ιωακείμ είχα "δίκιο" όταν είπα τότε να λύσουμε ως προς

! Καλημέρα σε όλους!!!

#14

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 11:02 am
Πριν λίγο ξαναέλυσα την άσκηση με ένα groupaki μαθητών 6ης δημοτικού και 1ης γυμνασίου.

Νίκο, θαυμάζω τους μαθητές σου που ασχολούνται μέ τέτοια Μαθηματικά αλλά και τον Δάσκαλό τους που τους καθοδηγεί σε τέτοια υπέροχα μονοπάτια.

Τσιαλας Νικολαος · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 11:27 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 11:02 am
Πριν λίγο ξαναέλυσα την άσκηση με ένα groupaki μαθητών 6ης δημοτικού και 1ης γυμνασίου.
Νίκο, θαυμάζω τους μαθητές σου που ασχολούνται μέ τέτοια Μαθηματικά αλλά και τον Δάσκαλό τους που τους καθοδηγεί σε τέτοια υπέροχα μονοπάτια.

Κύριε Μιχάλη ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια! Η αλήθεια είναι ότι αν και το κάνω αφιλοκερδώς, "πληρώνομαι" από την χαρά στα μάτια των παιδιών! Ιδιαίτερη χαρά μου δίνει, όταν όπως χτες το βράδυ στις 11, κοριτσάκι 6ης δημοτικού με ρώταγε απορίες μέσω του μπαμπά του σχετικά με ασκήσεις πάνω σε modulo! Καλό ηλιόλουστο Σ/Κ σας εύχομαι

Εξίσωση στους Ακεραίους

Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Re: Εξίσωση στους Ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση