Ανισότητα

2nisic · #1

Αποδείξτε ότι :

Αν $\displaystyle{x+y+z=12}$ τότε $\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{12}{5}.}$

#2

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 15, 2021 6:19 pm
Αποδείξτε ότι :
Αν x+y+z=12 τότε
(x/x+1)+(y/y+1)+(z/z+1)>=12/5

Παρακαλώ γράψε σε tex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας, βάλε τόνο στην λέξη του τίτλου και ακόμη καλύτερα, διόρθωσε το ορθογραφικό λάθος στον τίτλο που βγάζει μάτι.

#3

Η ανισότητα είναι λάθος. Βάλε π.χ. $\displaystyle{x=y=0^+}$ και $\displaystyle{z=12^-}$

2nisic · #4

Ευχαριστώ πολύ

#5

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 15, 2021 6:19 pm
Αποδείξτε ότι :

Αν $\displaystyle{x+y+z=12}$ τότε $\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{12}{5}.}$

Ευχαριστώ τον Γενικό Συντονιστή, φίλο Θάνο, για την διόρθωση του latex. Είναι να απορεί κανείς για τον νεαρό θεματοθέτη να έχει τέτοια απαξίωση στο φόρουμ που τον φιλοξενεί. Όπως και να είναι, γράφω απόδειξη του ζητούμενου (ακριβέστερα με την ανισότητα ανάποδα), δηλαδή

$\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\leq \frac{12}{5}}$ . Επίσης παίρνω x,y,z >0

γιατί αλλιώς δεν ισχύει.

Η (σωστή) αποδεικτέα ισοδυναμεί με $\displaystyle{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{5}}$ .

Τώρα, με a=x+1, b=y+1,c=z+1

μας δίνεται a+b+c=15

και θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{5}}$

Έχουμε

$\displaystyle{ 15\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) = (a+b+c) \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \ge 3\sqrt [3]{abc} \cdot 3\sqrt [3] {\frac{1}{abc}} =9}$
από όπου το ζητούμενο.

2nisic · #6

Η πραγματική άσκησης ήταν αυτή:
$\sum \frac{bc+a+1}{a^{2}+1}\leq \frac{39}{10}$ με a+b+c=1

και

θετικοί

Και μετά από καμιά βήματα είχα φτάσει στην προηγούμενη αλλά κάπου είχα βάλει λάθος φορά.

2nisic · #7

Πως γράφω σε LaTeX?

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανησοτητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση