Ορθογώνιο, τετράπλευρο και τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1482
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ορθογώνιο, τετράπλευρο και τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Δεκ 07, 2021 9:02 pm

Σε ορθογώνιο με μήκη πλευρών a και b είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του ορθογωνίου να βρίσκεται μια κορυφή του τετράπλευρου και στο τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο ένα μοναδιαίο τετράγωνο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του αρχικού ορθογώνιου. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} \geq 1}. Πότε ισχύει η ισότητα;


(Για Αρχιμήδη μικρών)



Λέξεις Κλειδιά:
thepigod762
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: Ορθογώνιο, τετράπλευρο και τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Σάβ Δεκ 11, 2021 10:55 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Δεκ 07, 2021 9:02 pm
Σε ορθογώνιο με μήκη πλευρών a και b είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του ορθογωνίου να βρίσκεται μια κορυφή του τετράπλευρου και στο τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο ένα μοναδιαίο τετράγωνο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του αρχικού ορθογώνιου. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} \geq 1}. Πότε ισχύει η ισότητα;


(Για Αρχιμήδη μικρών)
Επαναφορά.


Γιώργος Κοτσάλης
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1482
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ορθογώνιο, τετράπλευρο και τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Δεκ 13, 2021 9:19 pm

Επειδή ζητήθηκε η λύση, την βάζω σε απόκρυψη αν και προτρέπω να την προσπαθήσουν λίγο ακόμα οι μαθητές καθώς δε χρειάζεται εξεζητημένες γνώσεις πέραν του σχολικού προγράμματος του Γυμνασίου, χωρίς αυτό απαραίτητα να την καθιστά εύκολη.

Η παρακάτω λύση είναι από την πηγή που πήρα την άσκηση και όχι δική μου. Πηγή: "Μαθηματικό Σχολείο, Διαλέξεις και προβλήματα, 1968, 13η έκδοση" Εκδόσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας.

Από κάθε κορυφή του τετράπλευρου φέρουμε τις καθέτους προς τις πλευρές του τετραγώνου. Συμβολίζουμε τα μήκη αυτών των καθέτων με h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4} (βλ. σχήμα). Τότε a=h_{2}+h_{4}+1 και b=h_{1}+h_{3}+1. Τότε η ζητούμενη ανισότητα μπορεί να γραφεί στην μορφή:

\dfrac{1}{h_{1}+h_{3}+1} + \dfrac{1}{h_{2}+h_{4}+1} \geq 1.

Ύστερα από πράξεις η παραπάνω γίνεται:

h_{1}h_{2} + h_{2}h_{3}+h_{3}h_{4}+h_{4}h_{1} \leq 1

Παρατηρούμε τώρα ότι h_{1}h_{2} είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD. Ανόλογη γεωμετρική ερμηνεία έχουν και τα άλλα γινόμενα που υπεισέρχονται, σε αυτή την παράσταση.

Θα αποδείξουμε ότι S_{ABCD}=S_{FDHG}. Πράγματι, τα τρίγωνα AED και CDK συμπληρώνουν το ορθογώνιο ABCD στο τρίγωνο EBK και το ίσα προς αυτά τρίγωνα FED και HDK συμπληρώνουν το FDHG, στο τρίγωνο EGK, ίσο με το EBK.

Έτσι το αριστερό μέλος της ανισότητάς μας παριστάνει το εμβαδόν τεσσάρων μη τεμνόμενων ορθογωνίων (στο σχήμα σκιασμένα), τα οποία βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου τετραγώνου και δεν υπερβαίνουν το 1.
othogwnio_tetrapleuro_tetragwno.png
othogwnio_tetrapleuro_tetragwno.png (13.62 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης