Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι το αριστερό μέλος ισούται . Πράγματι για άμεσο.
Για το επαγωγικό βήμα, με χρήση των , έχουμε έναν ακόμα παράγοντα, τον
.
Aν πολλαπλασιάσουμε αυτό επί το προηγούμενο, δίνει , που είναι ο σωστός επόμενος όρος.
Τελικά, επειδή o δεξιός παράγοντας της είναι , έπεται το ζητούμενο.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Μια λύση που σίγουρα δεν είναι η ενδεδειγμένη, αλλά αναδεικνύει μια όμορφη μέθοδο:
Ψάχνουμε συνάρτηση , η οποία να παίρνει μόνο θετικές τιμές και να είναι τέτοια ώστε
Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή και θα περιγράψουμε τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η συνάρτηση για να δουλέψει τόσο η βάση της επαγωγής, όσο και το επαγωγικό βήμα.
Για το επαγωγικό βήμα έχουμε ότι
και θέλουμε να ισχύει
άρα αρκεί να έχουμε
που γράφεται ως
ή ισοδύναμα
Έστω, , οπότε, αφού , πρέπει και η πιο πάνω γράφεται
άρα θέλουμε
Επομένως, η συνάρτηση πρέπει να έχει τις εξής ιδιότητες:
α) , για κάθε (καθώς ), και
β)
Θα επιλέξουμε την ώστε όταν . Μια λογική επιλογή είναι η με σταθερά. Αν , η εύκολα ελέγχεται ότι ικανοποιεί την πρώτη ιδιότητα
Για την δείξουμε, αρκεί να δείξουμε ότι
,
η οποία γράφεται μετά τις πράξεις
που για , ισχύει.
Οπότε, έχουμε το επαγωγικό βήμα για , και απλά επαληθεύουμε ότι ισχύει η
για , όπου και η
για . Σαφώς αρκεί να το δείξουμε για . Αυτό είναι εύκολο, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες