Ανισότητα απ' ανισότητα

Συντονιστές: emouroukos, achilleas, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5552
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Ανισότητα απ' ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 18, 2024 10:31 am

Έστω \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} τέτοιοι ώστε  \left ( 1 + \alpha^2 \right ) \left ( 4 + \beta^2 \right ) \left ( 9 + \gamma^2 \right ) \leq 100. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{-4  \leq 3 \alpha \beta + 2 \alpha \gamma + \beta \gamma \leq 16 }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6428
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα απ' ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Αύγ 18, 2024 1:52 pm

Θεωρώ τον μιγαδικό

\displaystyle{z=(a+i)(b+2i)(c+3i),} για τον οποίο δίνεται ότι \displaystyle{z\bar{z}\leq 100}.

Είναι

\displaystyle{z=(abc-6a-3b-2c)+(3ab+2ac+bc-6)i},

οπότε

\displaystyle{z\bar{z}=(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+bc-6)^2}.

Επομένως έχουμε \displaystyle{(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+bc-6)^2\leq 100,} οπότε και

\displaystyle{(3ab+2ac+bc-6)^2\leq 100.} Αυτή είναι η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 529
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ανισότητα απ' ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Αύγ 18, 2024 2:51 pm

Καλησπέρα.

Λίγο διαφορετικά:

Ισχύει γενικά ότι (xy+yz+zx-1)^2\le (1+x^2)(1+y^2)(1+z^2), αφού, μετά από πράξεις, ανάγεται στην προφανή (x+y+z-xyz)^2\ge 0.

Για x=a,y=\dfrac{b}{2},z=\dfrac{c}{3}, παίρνουμε τη ζητούμενη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης