Ανισότητα απ' ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\left ( 1 + \alpha^2 \right ) \left ( 4 + \beta^2 \right ) \left ( 9 + \gamma^2 \right ) \leq 100$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{-4 \leq 3 \alpha \beta + 2 \alpha \gamma + \beta \gamma \leq 16 }$

#2

Θεωρώ τον μιγαδικό

$\displaystyle{z=(a+i)(b+2i)(c+3i),}$ για τον οποίο δίνεται ότι $\displaystyle{z\bar{z}\leq 100}$ .

Είναι

$\displaystyle{z=(abc-6a-3b-2c)+(3ab+2ac+bc-6)i}$ ,

οπότε

$\displaystyle{z\bar{z}=(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+bc-6)^2}$ .

Επομένως έχουμε $\displaystyle{(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+bc-6)^2\leq 100,}$ οπότε και

$\displaystyle{(3ab+2ac+bc-6)^2\leq 100.}$ Αυτή είναι η ζητούμενη.

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Λίγο διαφορετικά:

Ισχύει γενικά ότι $(xy+yz+zx-1)^2\le (1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)$ , αφού, μετά από πράξεις, ανάγεται στην προφανή $(x+y+z-xyz)^2\ge 0$ .

Για $x=a,y=\dfrac{b}{2},z=\dfrac{c}{3}$ , παίρνουμε τη ζητούμενη.

Ανισότητα απ' ανισότητα

Ανισότητα απ' ανισότητα

Re: Ανισότητα απ' ανισότητα

Re: Ανισότητα απ' ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση