Ανισότητα

Fotis34 · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με x+y=1

.

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1.$

Για ποιες τιμές των

και

ισχύει η ισότητα;

Edit 9:29μμ. Μήπως ο φάκελος δεν είναι σωστός;

#2

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2026 4:44 pm
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1.$

Για ποιες τιμές των και ισχύει η ισότητα;

.
Από Α.Μ.-Γ.Μ. είναι $2\sqrt {xy} \le x+y=1$ , οπότε $\dfrac {1}{xy}\ge 4$ . Άρα

$\dfrac{(3x-1)^2}{x}+\dfrac{(3y-1)^2}{y}= \left (9x - 6 + \dfrac{1}{x}\right ) + \left (9y - 6 + \dfrac{1}{y}\right ) =$

$=9(x+y) -12 + \dfrac {x+y}{xy} =9-12 + \dfrac {1}{xy} \ge -3 +4=1$ , με ισότητα όταν $x=y=\dfrac {1}{2}$ .

abgd · #3

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2026 4:44 pm
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1.$

Για ποιες τιμές των και ισχύει η ισότητα;

Κάνοντας τις πράξεις, την απαλοιφή των παρονομαστών και τη χρήση της x+y=1

προκύπτει

$1-4xy\geq 0$

το οποίο είναι ισοδύναμο με το

$(x+y)^2-4xy\geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

Dinhoo37 · #4

Με αντικατάσταση y=1-x

και απαλοιφή παρονομαστών η ανισότητα είναι
$(1-x)(3x-1)^2 + (3x-2)^2x \geq x-x^2$
$9x^2 -6x + 1 -9x^3 + 6x^2 -x + 9x^3 -12x^2 + 4x \geq x-x^2$
$3x^2 -3x + 1 -x + x^2 \geq 0$
$4x^2 -4x + 1 \geq 0$ ισχύει, και ισότητα γίνεται για $x=\frac{1}{2}$
και με αντικατάσταση στο x+y=1

η τιμή
του

τότε είναι $\frac{1}{2}$ .

#5

Η άσκηση αυτή είναι παρόμοια με Θέμα του ΘΑΛΗ Β Λυκείου 2017. Δείτε, π.χ. το παράδειγμα 5 σε αυτό το αρχείο.

Μιμούμενοι εκείνες τις λύσεις έχουμε τις παρακάτω:

Λύση: (1ος τρόπος) Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα και χωρίζοντας τα κλάσματα, έχουμε

$\begin{aligned} \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} &=\frac{9x^2-6x+1}{x}+\frac{9y^2-6y+1}{y}\\ &=9x-6+\frac1x+9y-6+\frac1y\\ &=9(x+y)-12+\frac1x+\frac1y\\ &=-3+\frac1x+\frac1y. \end{aligned}$

Από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου - Γεωμετρικού Μέσου, και αφού $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac1{xy}$ και

$\displaystyle{ xy\le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac14, }$

παίρνουμε

$\displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac1{xy}\ge 4.$

Άρα

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y}\ge -3+4=1.$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle x=y=\frac12.$

(2ος τρόπος) Θα χρησιμοποιήσουμε τη βοηθητική ανισότητα

$\displaystyle \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{d}\ge \frac{(a+b)^2}{c+d},$

για κάθε $a,b\in\mathbb{R}$ και c,d>0

.

Θέτουμε

$\displaystyle a=3x-1,\qquad b=3y-1,\qquad c=x,\qquad d=y.$

Τότε

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge \frac{(3x-1+3y-1)^2}{x+y}.$

Επειδή x+y=1

, έχουμε

$\displaystyle 3x-1+3y-1=3(x+y)-2=1,$

οπότε

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge \frac{1^2}{1}=1.$

Αφού x,y>0

, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

$\displaystyle y(3x-1)=x(3y-1)\iff x=y.$

Μαζί με τη σχέση x+y=1

, αυτό δίνει
$\displaystyle x=y=\frac12.$

(3ος τρόπος) Ισχύει $\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}\ge 5x-2,$

για κάθε x>0

, με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν $x=\frac12$ . Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με x>0

, έχουμε ισοδύναμα

$\displaystyle (3x-1)^2\ge x(5x-2),$

δηλαδή

$\displaystyle 9x^2-6x+1\ge 5x^2-2x \iff 4x^2-4x+1\ge 0 \iff (2x-1)^2\ge 0,$

που ισχύει για κάθε x>0

, με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν $x=\frac12$ .

Ομοίως,

$\displaystyle \frac{(3y-1)^2}{y}\ge 5y-2,$

με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν $y=\frac12$ .

Έτσι

$\begin{aligned} \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} &\ge (5x-2)+(5y-2)\\ &=5(x+y)-4\\ &=5\cdot 1-4\\ &=1. \end{aligned}$
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

$\displaystyle x=y=\frac12.$

Σχόλια. (α) Στον 1ο τρόπο μπορούμε επίσης να γράψουμε

$\displaystyle \frac1x+\frac1y\ge \frac{(1+1)^2}{x+y}=4,$

οπότε

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} =-3+\frac1x+\frac1y\ge -3+4=1.$

Στον 3ο τρόπο, η ανισότητα

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}\ge 5x-2$

μπορεί να προκύψει με τη μέθοδο της εφαπτομένης. Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle f(x)=\frac{(3x-1)^2}{x}=9x-6+\frac1x,\qquad x>0.$

Είναι

$\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac12 \quad\text{και}\quad f'(x)=9-\frac1{x^2}\Rightarrow f'\left(\frac12\right)=5.$

Άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο σημείο με $x=\frac12$ έχει εξίσωση

$\displaystyle y-\frac12=5\left(x-\frac12\right)\iff y=5x-2.$

Έτσι υποψιαζόμαστε την ανισότητα

$\displaystyle f(x)\ge 5x-2,$

την οποία αποδεικνύουμε στοιχειωδώς, ως εξής:

Χωρίς παραγώγους, μπορούμε να αναζητήσουμε μια ανισότητα της μορφής

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}\ge mx+k \iff (9-m)x^2+(-6-k)x+1\ge 0,$

η οποία να ισχύει ως ισότητα για $x=\frac12$ . Αρκεί το τριώνυμο

$\displaystyle (9-m)x^2+(-6-k)x+1$

να έχει διπλή ρίζα το $x=\frac12$ . Τότε

$\displaystyle \frac{6+k}{2(9-m)}=\frac12 \quad\text{και}\quad (-6-k)^2-4(9-m)=0.$

Από την πρώτη σχέση παίρνουμε

$\displaystyle 6+k=9-m\iff m+k=3,$

ενώ η δεύτερη δίνει

$\displaystyle (k+6)^2=36-4m.$

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε

$\displaystyle m=5,\qquad k=-2.$

Άρα πράγματι καταλήγουμε στην ανισότητα

$\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}\ge 5x-2.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση