Κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου

sakis1963 · #1

Κατασκευάστε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD, AB \parallel DC$ με δεδομένα οτι :

- το μήκος της μεγάλης βάσης AB=a

- η διαγώνιος

είναι

-συμμετροδιάμεσος του ABC

#2

: κατασκευή τραπεζίου_ Sakis.png (33 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές

Έστω

η δεδομένη βάση .

Γράφω τους κύκλους $(A,a)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(B,\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2})$ που τέμνονται στο

. Φέρνω την

παράλληλη από το

στην

που τέμνει τον κύκλο (B,a)

στο

.

Η απόδειξη όταν ξυπνήσω αν και δεν είναι μεγάλης έκτασης .

Απόδειξη

Πρώτα – πρώτα από την κατασκευή το ABCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάση

μεγάλη AB = a

και διαγωνίους AC = BD = a

, ίσες πλευρές $\boxed{x = BC = AD = \frac{a}{{\sqrt 2 }}}$ μικρή δε βάση b = DC

.

Έστω ακόμα

το μέσο της διαγωνίου

, ενώ οι

διαγώνιοι τέμνονται στο

. από 1ο θεώρημα διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ έχω :

$M{B^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2B{C^2} - A{C^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2} + {a^2} - {a^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{MB = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = BC\,\,(1)}$

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD

( αφού είναι και

εγγράψιμο ) θα έχω : $AB \cdot DC + AD \cdot BC = AC \cdot BD$ και άρα

$ab + {x^2} = {a^2} \Rightarrow ab + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} \Rightarrow b = a - \dfrac{a}{2} \Rightarrow \boxed{b = \dfrac{a}{2} = MA}\,\,(2)$ .

Έτσι $\vartriangle DCA\vartriangle MAB \Rightarrow \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_3}}$ και αφού $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}}$ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο θα

είναι $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}$ συνεπώς η

είναι συμμετροδιάμεσος .

Κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου

Κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση