Τρίγωνα σε κύκλο και εμβαδά

#1

Έχω λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος για τον φάκελο. Αν νομίζετε ότι πρέπει να κατέβει στο Προχωρημένο Επίπεδο των Juniors ας το κάνουμε.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ . Παίρνουμε σημεία D,E

στα μικρά τόξα AB,AC

αντίστοιχα ώστε BC=DE

. Δίνεται ότι τα εμβαδά των τριγώνων ABE

και

είναι

και

αντίστοιχα.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

#2

Demetres έγραψε: Πέμ Νοέμ 29, 2018 10:29 am Έχω λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος για τον φάκελο. Αν νομίζετε ότι πρέπει να κατέβει στο Προχωρημένο Επίπεδο των Juniors ας το κάνουμε.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ . Παίρνουμε σημεία στα μικρά τόξα αντίστοιχα ώστε . Δίνεται ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι και αντίστοιχα.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου .

: Ισόπλευρο.Dem..png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 1353 φορές

$\displaystyle DE = BC = a,$ οπότε τα ADBE, AECD

είναι ισοσκελή τραπέζια. Έστω BD=AE=x, AD=EC=y.

Aπό γωστό θεώρημα, BE=x+y=DC.

Είναι ακόμα, $\displaystyle \frac{{(AEB)}}{{(ACD)}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{xBE}}{{yDC}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow y = \frac{4}{3}x \Rightarrow BE = \frac{7}{3}x$

Ν. συνημιτόνων στο AEB:

$\displaystyle {a^2} = {x^2} + \frac{{49}}{9}{x^2} - \frac{{7{x^2}}}{3} = \frac{{37{x^2}}}{9} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{9{a^2}}}{{37}}$

Αλλά, $\displaystyle (AEB) = 3 \Leftrightarrow \frac{{7{x^2}}}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3 \Leftrightarrow 7 \cdot \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{4 \cdot 37}} = 9 \Leftrightarrow {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{37}}{7} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=\dfrac {37}{7}}$

Τρίγωνα σε κύκλο και εμβαδά

Τρίγωνα σε κύκλο και εμβαδά

Re: Τρίγωνα σε κύκλο και εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση