Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#1

: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 1375 φορές

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο

της πλευράς

τέτοιο ώστε: BD = 2DC

.

Στην

θεωρούμε σημείο

για το οποίο $\widehat {BPD} = \widehat {BAC}$ .

Δείξετε ότι: $\widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}$

STOPJOHN · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 11:02 am
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο της πλευράς τέτοιο ώστε: .

Στην θεωρούμε σημείο για το οποίο $\widehat {BPD} = \widehat {BAC}$ .

Δείξετε ότι: $\widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}$

Καλησπέρα Νίκο

Γράφουμε τους κύκλους (B,P,D),(D,P,C)

και $AH\perp BC,GL//AH,J\Theta //AH,BL=\dfrac{a}{3},LH=HD=DJ=JC=\dfrac{a}{6},$

Τότε είναι $\hat{BPD}=\hat{BGD}=\omega =\hat{A}\Rightarrow GD//AC,\hat{DPC}=\phi =\hat{DTC}$

Ακόμη απο τις τεμνομενες χορδές $AG.AB=AP.AD=AT.AC\Rightarrow AG=AT$

Οπότε GMHL

είναι ορθογώνιο και MTDH

είναι παραλληλόγραμμομε μια γωνια ορθή

άρα ορθογώνιο (MT//HD,MT=HD)

Αρα $\hat{TDC}=90^{0}$

και $\hat{DTC}=\hat{\phi }=\hat{HAC}=\dfrac{\omega }{2}\Leftrightarrow \omega =2\phi$

Διευκρινίζεται ότι αποδείχτηκε : $\hat{TDC}=90^{0},DJ=JC,J\Theta \perp AC$ ;άρα το

σημείο $\Theta$ είναι το κέντρο του κύκλου (D,P,C)

. Ακόμη δεν είναι απαραίτητο οι ευθείες

BP,AH,GD

να συντρέχουν

#3

Δίνω την κατασκευή του σχήματος.

: ΔΤ.ΔΓ.α.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 1272 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

Η

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

2nisic · #4

Άλλη κατασκευή:
Φέρνουμε τον περιγεγραμενο κύκλο του ABO

(

περίκεντρο του ABC

) τότε ο κύκλος αυτός τέμνει την

στο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 11:02 am
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο της πλευράς τέτοιο ώστε: .

Στην θεωρούμε σημείο για το οποίο $\widehat {BPD} = \widehat {BAC}$ .

Δείξετε ότι: $\widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}$

έχει τεθεί και παλαιότερα

viewtopic.php?f=22&t=34982&p=162049#p162049

#6

Θα στηριχτώ στην κατασκευή μου ότι CL||AD.

Έστω

το μέσο του BP.

Εύκολα βρίσκω BN=NP=PL.

: ΔΤ.ΔΓ.β.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

$\displaystyle \widehat A = \omega ,A\widehat LP = \widehat B,$ άρα τα τρίγωνα PAL, ABC

είναι ισογώνια κι επειδή AB=AC

θα είναι

$\displaystyle AP = PL = PN \Leftrightarrow N\widehat AL = 90^\circ \Leftrightarrow A\widehat NL + \widehat B = 90^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{2A\widehat NL = \widehat A}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle A\widehat BL = A\widehat CL = P\widehat AC,$ άρα τα τρίγωνα ABN, CAP

είναι ίσα και $\displaystyle A\widehat NL = \varphi \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{2\varphi=\widehat A}$

Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση