Κι άλλα διανύσματα

Lymperis Karras · #1

Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο ABC

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία είναι

$\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$

#2

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 2:22 pm
Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία είναι

$\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου

το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται:

: Διανύσματα.Λ.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 2478 φορές

$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου

σημείο της

ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (G,r).

Lymperis Karras · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου σημείο της ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος

Πώς αποδεικνύεται όμως ότι $\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου

το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???

Τσιαλας Νικολαος · #4

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:23 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου σημείο της ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος

Πώς αποδεικνύεται όμως ότι $\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???

Λυμπέρη η σχέση αυτή είναι πασίγνωστη! Μην κοιτάς που εμείς στην Ελλάδα την έχουμε "εκτός ύλης". Κοίταξε την εφαρμογή στην σελίδα 25 του σχολικού βιβλίου!

mathematica.gr

Κι άλλα διανύσματα

Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση