Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση μιγαδικών. Σίγουρα δεν το έχουν δει οι juniors. Δεν ξέρω μάλιστα αν αυτά που θα χρησιμοποιήσω τα έχουν δει οι seniors αλλά τουλάχιστον κάποιοι ξέρουν τι είναι οι μιγαδικοί.
Πιο συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσουμε το εξής:
1) Κάθε μετασχηματισμός στο επίπεδο ο οποίος είναι σύνθεση στροφών, μεταφορών και ανακλάσεων μπορεί να γραφτεί στην μορφή:
(α)

αν χρησιμοποιήθηκε άρτιος αριθμός ανακλάσεων
(β)

αν χρησιμοποιήθηκε περιττός αριθμός ανακλάσεων
για κάποιο

και κάποιο

.
2) Για

με

, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση

είναι ευθεία.
Εδώ βρισκόμαστε στην περίπτωση 1(β). Οπότε το μέσο ενός μιγαδικού

και της εικόνας του ισούται με
Όμως για κάθε

με

έχουμε
Άρα από το (2) τα μέσα των

και

είναι συνευθειακά ευθεία. Στην ίδια ευθεία μάλιστα βρίσκεται και το μέσο της

όπου

οποιοδήποτε άλλο σημείο και

η εικόνα του από τον ίδιο μετασχηματισμό.