Τρεις κύκλοι.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1029
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρεις κύκλοι.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Φεβ 16, 2017 8:23 pm

122.png
122.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα τα O_{1} και O_{2} τέμνονται στα σημεία A και B.
Δείξτε ότι τα τόξα ZE και EH του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία O_{1}, A και O_{2}, είναι ίσα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρεις κύκλοι.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Φεβ 16, 2017 9:36 pm

Γεια σας κύριε Φάνη!

Θα αποδείξουμε ότι αν η O_1 B τέμνει τον κύκλο κέντρου O_2 στο H', τότε H' \equiv H δηλαδή αρκεί ισοδύναμα νδο A, O_1, O_2, H' ομοκυκλικά.


Έχουμε προφανώς O_1O_2 \perp AB, άρα \widehat{O_2O_1A}=\widehat{O_2O_1B}=\widehat{O_2O_1H'}.

Έχουμε O_2A=O_2H, άρα με Ν. Ημιτόνων στα O_1O_2A, \, O_1O_2H' και εξισώνοντας παίρνουμε \sin \widehat{O_1AO_2}=\sin \widehat{O_1HO_2} \Leftrightarrow \widehat{O_1AO_2}+\widehat{O_1HO_2}=180^0, άρα O_1H'O_2A εγγράψιμο και H \equiv H', που σημαίνει O_1,B, H συνευθειακά, και όμοια O_2,B,Z συνευθειακά.

Από το εγγράψιμο O_1O_2ZH παίρνουμε \widehat{ZO_1H}=\widehat{ZO_2H} \Leftrightarrow \widehat{ZO_1B}=\widehat{BO_2H} \Leftrightarrow

2 \cdot \widehat{ZAB}=2 \cdot \widehat{HAB} \Leftrightarrow \widehat{ZAB}=\widehat{BAH} \Leftrightarrow \boxed{ZE=EH},

που εύκολα δίνει το ζητούμενο.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 740
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τρεις κύκλοι.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Φεβ 16, 2017 9:50 pm

Εναλλακτικά:

Φέρνουμε την AZ, AH, O_1A, O_1Z, O_2A και O_2Z. Αρκεί να δείξουμε πως \widehat{ZAE}=\widehat{EAH}\Leftrightarrow \widehat{ZO_1B}=\widehat{BO_2H}.

Αρχικά θα αποδείξουμε πως τα σημεία O_1, B, H είναι συνευθειακά. Έστω πως δεν ήταν. Τότε φέρνουμε την O_1B και έστω K το σημείο τομής της με τον κύκλο με κέντρο το O_2.

Έστω \widehat{AO_2K}=2x. Τότε έχουμε ότι \widehat{ABK}=180^o-x\Leftrightarrow \widehat{ABO_1}=x, δηλαδή \widehat{BO_1A}=180-2x. Άρα το AO_1KO_2 είναι εγγεγραμμένο, δηλαδή το K ταυτίζεται με το H. Άρα τα σημεία O_1, B, H είναι συνευθειακά.

Όμοια και τα σημεία O_2, B, Z είναι συνευθειακά.

Άρα \widehat{ZO_1B}=\widehat{ZO_1H}=\widehat{ZO_2H}=\widehat{BO_2H}.
Συνημμένα
Τρεις κύκλοι.png
Τρεις κύκλοι.png (34.93 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές


Houston, we have a problem!
nikkru
Δημοσιεύσεις: 333
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Τρεις κύκλοι.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Φεβ 16, 2017 10:47 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:122.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα τα O_{1} και O_{2} τέμνονται στα σημεία A και B.
Δείξτε ότι τα τόξα ZE και EH του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία O_{1}, A και O_{2}, είναι ίσα.
Καλησπέρα,

Ο (C) διέρχεται από τα κέντρα των κύκλων C_1,C_2 οπότε τα O_1,O_2 είναι μέσα των τόξων AZ,AH.

Ακόμη \displaystyle{A\widehat{N}K=\frac{AO_2+ZO_1}{2}=\frac{HO_2+AO_1}{2}=A\widehat{K}N}, δηλαδή το τρίγωνο ANK είναι ισοσκελές,

με αποτέλεσμα το ύψος του AE να είναι και διχοτόμος της Z\widehat{A}H δηλαδή τα τόξα ZE και EH είναι ίσα.
Τρεις_κύκλοι.png
Τρεις_κύκλοι.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Edit: Έκανα μια διόρθωση που εντόπισε ο Διονύσης Αδαμόπουλος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης