Ομοιότητα Τριγώνων
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ομοιότητα Τριγώνων
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με . Έστω το ύψος από την κορυφή και το μέσο του . 'Έστω ακόμη τυχαίο σημείο στην πλευρά και το μέσο του . Έστω το περίκεντρο του . Να αποδειχθεί πως τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ομοιότητα Τριγώνων
Δίνω ένα λήμμα που ουσιαστικά ξεκλειδώνει την ωραία αυτή άσκηση.
Λήμμα:
Έχω ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος και τυχαίο σημείο της . Έστω το κέντρο του κύκλου και το μέσο του .
Αν η κόψει τον πιο πάνω κύκλο στο , τότε η και η μεσοκάθετος στο .
Απόδειξη
(οξείες με πλευρές κάθετες) και ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Άρα και το είναι εγγράψιμο οπότε .
Τώρα τα ισαπέχουν των οπότε η μεσοκάθετος στο .
Έστω τώρα το μέσο του . Η , άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο με συνέπεια τα ορθογώνια τρίγωνα να είναι
όμοια ( γιατί έχουν κάθετες πλευρές ) . Ο λόγος ομοιότητα αυτών των τριγώνων είναι .
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν ανάλογες τις κάθετες πλευρές άρα είναι όμοια .
Λήμμα:
Έχω ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος και τυχαίο σημείο της . Έστω το κέντρο του κύκλου και το μέσο του .
Αν η κόψει τον πιο πάνω κύκλο στο , τότε η και η μεσοκάθετος στο .
Απόδειξη
(οξείες με πλευρές κάθετες) και ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Άρα και το είναι εγγράψιμο οπότε .
Τώρα τα ισαπέχουν των οπότε η μεσοκάθετος στο .
Έστω τώρα το μέσο του . Η , άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο με συνέπεια τα ορθογώνια τρίγωνα να είναι
όμοια ( γιατί έχουν κάθετες πλευρές ) . Ο λόγος ομοιότητα αυτών των τριγώνων είναι .
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν ανάλογες τις κάθετες πλευρές άρα είναι όμοια .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες