Αποστασιομανία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6537
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αποστασιομανία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 11, 2018 4:35 pm

Αποστασιομανία.png
Αποστασιομανία.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Ο έγκυκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στις BC, AC, AB στα D, E, F αντίστοιχα. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο P

αυτού του κύκλου και έστω x, y, z οι αποστάσεις του από τις πλευρές του τριγώνου ABC και k, m, n οι αποστάσεις του

από τις πλευρές του DE F. Να δείξετε ότι xyz=kmn.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3760
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αποστασιομανία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 17, 2018 12:23 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 4:35 pm
Αποστασιομανία.png
Ο έγκυκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στις BC, AC, AB στα D, E, F αντίστοιχα. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο P αυτού του κύκλου και έστω x, y, z οι αποστάσεις του από τις πλευρές του τριγώνου ABC και k, m, n οι αποστάσεις του από τις πλευρές του DE F. Να δείξετε ότι xyz=kmn.
Έστω {A}',{B}',{C}' και {D}',{E}',{F}' οι ορθές προβολές του P στις BC,CA,AB και EF,FD,DE αντίστοιχα. Τότε από της ευθεία Euler {E}'{D}'{F}' του P\in \left( I \right) ως προς το τρίγωνο \vartriangle EDF και τις προφανείς ομοιότητες των ορθογωνίων τριγώνων … (λόγω οξειών γωνιών υπό χορδής και εφαπτομένης με τις αντίστοιχες εγγεγραμμένες) θα έχουμε:
Αποστασιομανία.png
Αποστασιομανία.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle PA'D \sim \vartriangle PEF' \Rightarrow \frac{x}{m} = \frac{{PD}}{{PE}} \\  
  \vartriangle PB'E \sim \vartriangle PD'F \Rightarrow \frac{y}{k} = \frac{{PE}}{{PF}} \\  
  \vartriangle PC'F \sim \vartriangle PE'D \Rightarrow \frac{z}{n} = \frac{{PF}}{{PD}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  \cdot  \right)} \dfrac{{xyz}}{{kmn}} = 1 \Rightarrow xyz = kmn και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης