Μέγιστη γωνία!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1295
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Μέγιστη γωνία!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 23, 2018 9:34 pm

Σε τρίγωνο \vartriangle ABC, το M είναι το μέσο της BC. Αν δίνεται ότι \widehat{MAC}=15^\circ, να βρείτε την μέγιστη (δυνατή) τιμή της γωνίας \phi=\widehat{ABC}.
MAX-angle.png
MAX-angle.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5237
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη γωνία!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Απρ 23, 2018 10:25 pm

Θα προσδιορίσουμε το συμμετρικό D του A ως προς το M και θα πραγματοποιήσουμε την γνωστή Απολλώνια κατασκευή του κύκλου που διέρχεται από τα D, M και εφάπτεται στην ημιευθεία που ανήκει η πλευρά AC. Το σημείο επαφής είναι η θέση που θα πρέπει να τοποθετηθεί η κορυφή C. Αυτός είναι ο κατασκευαστικός προσδιορισμός. Κατά τα άλλα για τον υπολογισμό της γωνίας \phi=\widehat{ABC}=\widehat{MCD}, θα θεωρήσουμε AM=1 και θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα CAM, CAD, CMD.


(*) Άρση της απόκρυψης μετά την παρέμβαση από τον Νίκο
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Τρί Απρ 24, 2018 9:33 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5831
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 24, 2018 9:30 am

Γράφω τόξο (κόκκινο στο σχήμα) χορδής MC που δέχεται γωνία 15^\circ .

Από το συμμετρικό B του C ως προς M φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα BA σ αυτό

το τόξο . Το A είναι αυτό που ζητώ αφού για κάθε άλλη θέση του A στο τόξο

προκύπτει πιο μικρή γωνία B Επειδή A{B^2} = BM \cdot BC αν BM = x θα είναι m = AB = x\sqrt 2
Μέγιστη γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

Από το νόμο των ημιτόνων στο \vartriangle ABM θα είναι :


\dfrac{{BM}}{{\sin \omega }} = \dfrac{{AB}}{{\sin (\omega  + 15^\circ )}} \Rightarrow \sqrt 2 \sin \omega  = \sin (\omega  + 15^\circ ) = \sin \omega \cos 15^\circ  + \cos \omega \sin 15^\circ και

αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές έχω : \tan \omega  = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2  - \sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} και άρα η οξεία γωνία \omega  = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\phi  = 105^\circ }


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1295
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστη γωνία!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Απρ 24, 2018 10:00 am

Doloros έγραψε:
Τρί Απρ 24, 2018 9:30 am
Γράφω τόξο (κόκκινο στο σχήμα) χορδής MC που δέχεται γωνία 15^\circ .

Από το συμμετρικό B του C ως προς M φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα BA σ αυτό

το τόξο . Το A είναι αυτό που ζητώ αφού για κάθε άλλη θέση του A στο τόξο

προκύπτει πιο μικρή γωνία B Επειδή A{B^2} = BM \cdot BC αν BM = x θα είναι m = AB = x\sqrt 2
Μέγιστη γωνία.png

Από το νόμο των ημιτόνων στο \vartriangle ABM θα είναι :


\dfrac{{BM}}{{\sin \omega }} = \dfrac{{AB}}{{\sin (\omega  + 15^\circ )}} \Rightarrow \sqrt 2 \sin \omega  = \sin (\omega  + 15^\circ ) = \sin \omega \cos 15^\circ  + \cos \omega \sin 15^\circ και

αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές έχω : \tan \omega  = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2  - \sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} και άρα η οξεία γωνία \omega  = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\phi  = 105^\circ }
Πάλι ''ζωγράφισε'' ο κύριος Νίκος! :clap2:

Ευχαριστώ πολύ και τον κύριο Σωτήρη για την λύση του.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης