Μέγιστη γωνία!

Ορέστης Λιγνός · #1

Σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , το

είναι το μέσο της

. Αν δίνεται ότι $\widehat{MAC}=15^\circ$ , να βρείτε την μέγιστη (δυνατή) τιμή της γωνίας $\phi=\widehat{ABC}$ .

: MAX-angle.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

S.E.Louridas · #2

Θα προσδιορίσουμε το συμμετρικό

του

ως προς το

και θα πραγματοποιήσουμε την γνωστή Απολλώνια κατασκευή του κύκλου που διέρχεται από τα D, M

και εφάπτεται στην ημιευθεία που ανήκει η πλευρά AC.

Το σημείο επαφής είναι η θέση που θα πρέπει να τοποθετηθεί η κορυφή

Αυτός είναι ο κατασκευαστικός προσδιορισμός. Κατά τα άλλα για τον υπολογισμό της γωνίας $\phi=\widehat{ABC}=\widehat{MCD}$ , θα θεωρήσουμε AM=1

και θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα CAM, CAD, CMD.

(*) Άρση της απόκρυψης μετά την παρέμβαση από τον Νίκο

#3

Γράφω τόξο (κόκκινο στο σχήμα) χορδής

που δέχεται γωνία $15^\circ$ .

Από το συμμετρικό

του

ως προς

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

σ αυτό

το τόξο . Το

είναι αυτό που ζητώ αφού για κάθε άλλη θέση του

στο τόξο

προκύπτει πιο μικρή γωνία

Επειδή $A{B^2} = BM \cdot BC$ αν BM = x

θα είναι $m = AB = x\sqrt 2$

: Μέγιστη γωνία.png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Από το νόμο των ημιτόνων στο $\vartriangle ABM$ θα είναι :

$\dfrac{{BM}}{{\sin \omega }} = \dfrac{{AB}}{{\sin (\omega + 15^\circ )}} \Rightarrow \sqrt 2 \sin \omega = \sin (\omega + 15^\circ ) = \sin \omega \cos 15^\circ + \cos \omega \sin 15^\circ$ και

αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές έχω : $\tan \omega = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 - \sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$ και άρα η οξεία γωνία $\omega = 30^\circ \Rightarrow \boxed{\phi = 105^\circ }$

Ορέστης Λιγνός · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Απρ 24, 2018 9:30 am
Γράφω τόξο (κόκκινο στο σχήμα) χορδής που δέχεται γωνία $15^\circ$ .

Από το συμμετρικό του ως προς φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα σ αυτό

το τόξο . Το είναι αυτό που ζητώ αφού για κάθε άλλη θέση του στο τόξο

προκύπτει πιο μικρή γωνία Επειδή $A{B^2} = BM \cdot BC$ αν θα είναι $m = AB = x\sqrt 2$

Μέγιστη γωνία.png

Από το νόμο των ημιτόνων στο $\vartriangle ABM$ θα είναι :

$\dfrac{{BM}}{{\sin \omega }} = \dfrac{{AB}}{{\sin (\omega + 15^\circ )}} \Rightarrow \sqrt 2 \sin \omega = \sin (\omega + 15^\circ ) = \sin \omega \cos 15^\circ + \cos \omega \sin 15^\circ$ και

αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές έχω : $\tan \omega = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 - \sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$ και άρα η οξεία γωνία $\omega = 30^\circ \Rightarrow \boxed{\phi = 105^\circ }$

Πάλι ''ζωγράφισε'' ο κύριος Νίκος!

Ευχαριστώ πολύ και τον κύριο Σωτήρη για την λύση του.

Μέγιστη γωνία!

Μέγιστη γωνία!

Re: Μέγιστη γωνία!

Re: Μέγιστη γωνία!

Re: Μέγιστη γωνία!

Μέλη σε σύνδεση