Ίσα γινόμενα 3

KARKAR · #1

: Ίσα γινόμενα.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία S(1,0)

και

, τέμνει τον κύκλο :

x^2+y^2=25

, στα σημεία Q,T

. Δείξτε ότι : $SQ\cdot ST=PQ\cdot PT$ .

#2

: Ισα γινόμενα.png (25.81 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Αν το κέντρο του μεταβλητού κύκλου είναι $K(4,k)\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$ τότε:

Η κοινή χορδή (ριζικός άξονας) $QT \to 8x + 2ky - 32 = 0\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$ διέρχεται από το

μέσο M(4,0)

του

και άρα τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ ισαπέχουν από την

οπότε από τον

τύπο $\beta \gamma = 2R{\upsilon _a}$ προκύπτει το ζητούμενο .

Γιώργος Μήτσιος · #3

Θανάση , Νίκο χαιρετώ. Καλή πρωτομαγιά σε όλους !

: Ίσα γινόμενα.PNG (8.14 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

'Εστω

η τομή των SP,QT

και

. Ισχύουν : $MQ\cdot MT=R^{2}-d^{2}=25-d^{2} ..\left ( 1 \right )$
και $MQ\cdot MT=MS\cdot MP=\left ( d-1 \right )\cdot \left ( 7-d \right )..\left ( 2 \right )$
Από την εξίσωση αυτών προκύπτει d=4

, δηλ. το είναι το μέσον του

Το PQST

είναι εγγεγραμμένο άρα $\widehat{S},\widehat{P}$ παραπληρωματικές , οπότε $\dfrac{\left ( SQT \right )}{\left ( PQT \right )}=\dfrac{SQ\cdot ST}{PQ\cdot PT}$ .

Οι QM,TM

είναι διάμεσοι στα τρίγωνα PQS,PTS

συνεπώς $\left ( SQM \right )=\left (PQM \right )..\left ( STM \right )=\left ( PTM \right )$

και $\dfrac{\left ( SQT \right )}{\left ( PQT \right )}=1$ . Τελικά παίρνουμε $SQ \cdot ST = PQ \cdot PT$ .
Nα τονίσω βέβαια ότι .. ..η έκφραση του Νίκου : Ο ριζικός άξονας διέρχεται από το μέσο της
άνοιξε τον δρόμο ! Φιλικά Γιώργος.

Ίσα γινόμενα 3

Ίσα γινόμενα 3

Re: Ίσα γινόμενα 3

Re: Ίσα γινόμενα 3

Μέλη σε σύνδεση