Τόπος σύγκλισης

KARKAR · #1

: Τόπος σύγκλισης.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Σημείο

κινείται στη διάμετρο AOB

ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την

,

τμήμα

και ονομάζω

το μέσο του . Δείξτε ότι η

, η διχοτόμος της $\widehat{TOB}$ και

η εφαπτομένη του τόξου στο

συντρέχουν σε σημείο

, του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .

#2

Θεωρώ την εφαπτομένη στο

και ότι τέμνει την

στο

, ενώ η διχοτόμος της

$\widehat {BOT}$ ότι τέμνει τη

στο

και θα δείξω ότι το σημείο τομής

των

$AS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP$ είναι μέσο του

Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$

( κάθετες πλευρές) και $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ (Υπό χορδής κι εφαπτομένης)

Θα είναι και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ επίσης δόθηκε $\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$

( εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}}$ …)

Προφανώς η

είναι μεσοκάθετος στο

οπότε η

εφάπτεται του ημικυκλίου.

: Τόπος σύγκλισηs.png (25.34 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Είναι γνωστό ότι η τετράδα $(A,B\backslash P,C)$ είναι αρμονική.

Στο $\vartriangle TPC$ από το Θ. Μενελάου με διατέμνουσα $\overline {SMA}$ έχω :

$\dfrac{{TM}}{{MP}} \cdot \dfrac{{PA}}{{AC}} \cdot \dfrac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{TM}}{{MP}} \cdot \dfrac{{PA}}{{AC}} \cdot \dfrac{{CS}}{{ST}} = 1\,\,\,(1)$

Αλλά : $\dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{TS}}{{SC}}$ από αρμονική αναλογία και θ διχοτόμων

Κ έτσι η (1)

δίδει $\boxed{TM = MP}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm
Τόπος σύγκλισης.pngΣημείο κινείται στη διάμετρο ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την ,

τμήμα και ονομάζω το μέσο του . Δείξτε ότι η , η διχοτόμος της $\widehat{TOB}$ και

η εφαπτομένη του τόξου στο συντρέχουν σε σημείο , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει την εφαπτομένη

στο

Προφανώς η

διχοτομεί τη γωνία $T\widehat OB.$

θα δείξω ότι η

διέρχεται από το μέσο

του

: Τόπος σύγκλισης.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

Έστω

το σημείο τομής των AT, Bx.

Το τρίγωνο BTK

είναι ορθογώνιο και TS=SB.

Άρα το

είναι μέσο της

υποτείνουσας BK.

Αλλά, $\displaystyle PT||BK \Leftrightarrow \frac{{TM}}{{MP}} = \frac{{KS}}{{SB}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{TM=MP}$

Αν

είναι το μέσο του ημικυκλίου, τότε το τυχαίο σημείο

του γεωμετρικού τόπου απέχει από την σταθερή κατά θέση ευθεία

ON,

σταθερή απόσταση ίση με την ακτίνα

του ημικυκλίου. Οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία Bx.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm
Τόπος σύγκλισης.pngΣημείο κινείται στη διάμετρο ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την ,

τμήμα και ονομάζω το μέσο του . Δείξτε ότι η , η διχοτόμος της $\widehat{TOB}$ και

η εφαπτομένη του τόξου στο συντρέχουν σε σημείο , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .

Θεωρώ την εφαπτομένη στο

και ότι τέμνει την

στο

, ενώ η διχοτόμος της

$\widehat {BOT}$ ότι τέμνει τη

στο

και θα δείξω ότι το σημείο τομής

των

$AS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP$ είναι μέσο του

.

Επειδή στο ισοσκελές τρίγωνο OTB

η διχοτόμος είναι και μεσοκάθετη στη βάση , το

είναι εφαπτόμενο τμήμα και άρα SB//TP

, δηλαδή η

σταθερή ημιευθεία .

: Τόπος σύγκλισης_new.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Η τετράδα : $(A,B\backslash P,C)$ είναι αρμονική , συνεπώς η δέσμη S(A,B,P,C)

είναι αρμονική και αφού η ευθεία

είναι παράλληλη στην ακτίνα

και

τέμνει τις SA,SP,SC

στα σημεία M,P,T

το ένα απ’ αυτά θα είναι μέσο του

τμήματος των δύο άλλων , δηλαδή το

είναι μέσο του

.

Τόπος σύγκλισης

Τόπος σύγκλισης

Re: Τόπος σύγκλισης

Re: Τόπος σύγκλισης

Re: Τόπος σύγκλισης

Μέλη σε σύνδεση