Συμμετρικό και μέγιστο

KARKAR · #1

: Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Η

είναι διάμετρος κύκλου (O,r)

, το σημείο

κινείται στο "βόρειο" ημικύκλιο και

τα M,N

είναι τα μέσα των AP,OP

αντίστοιχα . Ονομάζουμε

την τομή της

με το κύκλο και

την τομή της

μ' αυτόν .

α) Δείξτε ότι το

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

.

β) Βρείτε τη μέγιστη απόσταση του σημείου

από την

.

#2

Εύκολα δείχνουμε ότι τι τετράπλευρο TMNP

είναι εγγράψιμο, και, στην συνέχεια, ότι $\angle STB=\angle PAB$ , που δίνει το πρώτο ζητούμενο.

Το ζητούμενο μέγιστο συμβαίνει όταν γίνεται μέγιστη και η γωνία $\angle OBN$ . Επειδή το

κινείται στον κύκλο $\left ( O,\dfrac{R}{2} \right )$ η γωνία $\angle OBN$ γίνεται μέγιστη όταν η

εφάπτεται σ' αυτόν το κύκλο. Τότε, όμως, είναι $\angle OBN=30^o$ , οπότε το ζητούμενο μέγιστο είναι το μισό της πλευράς του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου στον αρχικό κύκλο.

Σταμ. Γλάρος · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 12:27 pm
Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.pngΗ είναι διάμετρος κύκλου , το σημείο κινείται στο "βόρειο" ημικύκλιο και

τα είναι τα μέσα των αντίστοιχα . Ονομάζουμε την τομή της

με το κύκλο και την τομή της μ' αυτόν .

α) Δείξτε ότι το είναι το συμμετρικό του ως προς την .

β) Βρείτε τη μέγιστη απόσταση του σημείου από την .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

: Συμμετρικό και μέγιστο.png (230.14 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

α) Θεωρώντας τον μοναδιαίο κύκλο, έχουμε P(cosa , sina)

και $N\left ( \dfrac{cosa}{2},\dfrac{sina}{2} \right )$ .
Η εξίσωση της ευθείας , η οποία διέρχεται από τα σημεία B,N

είναι $(\varepsilon ): y=\dfrac{sina}{cosa-2}(x-1)$ .
Τώρα για να βρούμε τις συντεταγμένες του

, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του κύκλου (C):x^2+y^2=1

, την $(\varepsilon )$ .
Έχουμε την δευτεροβάθμια $\left [ 1+\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2} \right ]x^2-2\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2}x+\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2}-1=0$ .
Από την παραπάνω προκύπτουν λύσεις: x_1=1

(τετμημένη του

) και $x_2= \dfrac{sin^2 a -(cosa -2)^2}{sin^2 a +(cosa -2)^2}$ (τετμημένη του

) .
Αντικαθιστώντας τώρα στην $(\varepsilon )$ βρίσκουμε την τεταγμένη του

. Είναι $y= \dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a +(cosa-2)^2}$ .
Ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας $(\eta)$ , η οποία διέρχεται από τα σημεία

και $M\left ( \dfrac{cosa-1}{2},\dfrac{sina}{2} \right )$ , είναι: $\lambda =-\dfrac{3sina}{1+cosa}$ .
Άρα $(\eta ): y-\dfrac{sina}{2} = -\dfrac{3sina}{1+cosa}\left (x-\dfrac{cosa-1}{2} \right )$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σημείο, του κύκλου (C)

,

ανήκει και στην ευθεία $\eta$ ,
επειδή επαληθεύει την εξίσωσή της.
Συνεπώς το S(cosa , -sina)

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

(

).

β) Είναι $d(T,xx')=\left |\dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a+(cosa-2)^2} \right |= \dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a+(cosa-2)^2} = \dfrac{4sina-sin2a}{5-4cosa}$ .

Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)= \dfrac{4sinx-sin2x}{5-4cosx}$ , παραγωγίσιμη με

$f'(x)=\dfrac{2(4cos^3 x -10cos^2 x +10 cos^2 x -3)}{(5-4cos x)^2} = \dfrac{(2cosx -1) (4cos^2 x -8cos^2 x +6) }{(5-4cos x)^2}$ .
Από πίνακα μονοτονίας της

προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει στο $\dfrac{\pi}{3}$ ολικό μέγιστο το $f\left ( \dfrac{\pi }{3} \right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Το παραπάνω συμφωνεί με την προηγούμενη κομψότατη και υπέροχη λύση του rek2.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Συμμετρικό και μέγιστο

Συμμετρικό και μέγιστο

Re: Συμμετρικό και μέγιστο

Re: Συμμετρικό και μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση