Υπερμενέλαος

KARKAR · #1

: Υπερμενέλαος.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2r

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο

. Ονομάζουμε

την τομή του τόξου με

την

,

την τομή του τόξου με την

και

την τομή των AC,PB

. Δείξτε ότι : SB=3SP

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το ίχνος του

πάνω στην

. Έστω

το ορθόκεντρο του SAB

.

Ξέρουμε πως SCHD.AB

είναι πλήρες τετράπλευρο επομένως από γνωστό λήμμα ξέρουμε πως η τετράδα (A, B, K, T)

είναι αρμονική.

Αφού

μέσο του

έχουμε από τη σχέση Newton

πως $OB^2=OK\cdot OT$ , άρα $OK=\dfrac{r}{4}$ , δηλαδή $\dfrac{OK}{KB}=\dfrac{1}{3}$ .

Άρα από Θεώρημα Θαλή στις παράλληλες

και

έχουμε πως $\dfrac{PS}{SB}=\dfrac{1}{3}$ , δηλαδή SB=3PS

.

#3

Παρόμοια με το Διονύση .

: Υπερ_Μενέλαος.png (27.63 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Αν οι χορδές $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ τέμνονται στο

, προφανώς το σημείο αυτό είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle SAB$ και ας είναι

το σημείο τομής των $SH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ .

Στο ορθικό τρίγωνο ECD

το

είναι έγκεντρο κι αφού $EH \bot ET$ η δέσμη :

(EH,ET,ED,EC)

είναι αρμονική και άρα και η δέσμη : S(E,T,B,A)

είναι

αρμονική . Θέτω $EO = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB = y = r - x$ . Επειδή

$\dfrac{{BE}}{{BT}} = \dfrac{{AE}}{{AT}} \Rightarrow \dfrac{{r - x}}{{3r}} = \dfrac{{r + x}}{{5r}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{1}{4}r \hfill \\ y = \dfrac{3}{4}r \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{{PS}}{{SB}} = \dfrac{1}{3}}$ .

Υπερμενέλαος

Υπερμενέλαος

Re: Υπερμενέλαος

Re: Υπερμενέλαος

Μέλη σε σύνδεση