Τρίγωνο-97.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 10.png (7.76 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι $AB=\Gamma \Delta$ .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm
10.png

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι $AB=\Gamma \Delta$ .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Επί της $\displaystyle ED$ έστω σημείο $\displaystyle P$ με $\displaystyle DP = AC$

Τα τρίγωνα $\displaystyle PDC,ABC$ έχουν, $\displaystyle DP = AC,AB = DC,\angle A = \angle PDC = {100^0}$ άρα

είναι ίσα,οπότε $\displaystyle \angle PCD = {50^0}$ και $\displaystyle \angle DPC = {30^0}$ και $\displaystyle PC = BC$

Έτσι,στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle PCB$ με $\displaystyle \angle PCB = {80^0}$ ,θα είναι $\displaystyle \angle PBC = {50^0}$ κι επειδή $\displaystyle CBA = {50^0}$

τα $\displaystyle P,A,B$ θα είναι συνευθειακά με $\displaystyle \angle APD = {20^0}$ και προφανώς $\displaystyle AP = PD$

Αν τώρα η κάθετη από το $\displaystyle A$ στην $\displaystyle BC$ τέμνει την $\displaystyle DE$ στο $\displaystyle Z$ ,θα είναι $\displaystyle \angle AZE = {20^0}$ ,άρα $\displaystyle AZ = AP = PD = AC$

κι επειδή $\displaystyle \angle EBC = {60^0}$ το $\displaystyle \vartriangle AZC$ είναι ισόπλευρο με $\displaystyle CQ$ ύψος του

Επομένως $\displaystyle \angle ZAE = \angle EZA = {20^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{60}^0} - {{20}^0} = {{40}^0}}$

: T97.png (19.8 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm
10.png

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι $AB=\Gamma \Delta$ .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ανάδρομη κατασκευή.

Έχω τρίγωνο

$ABC \to (100^\circ ,50^\circ ,30^\circ )$ και γράφω το περιγεγραμμένο του κύκλο κέντρου

και ακτίνας, έστω

. Προφανώς το τρίγωνο KAB

είναι ισόπλευρο.

Επίσης το τρίγωνο $KBC \to (160^\circ ,10^\circ ,10^\circ )$ . Ενώ $\boxed{\widehat {KAC} = 40^\circ }$

Η ακτίνα

τέμνει τη

στο

. Γράφω τώρα και το περιγεγραμμένο κύκλο

του τριγώνου KEC

που τέμνει ακόμα την

στο

. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο KEDC

με απλό κυνήγι γωνιών προκύπτουν:

: Τρίγωνο 97.png (63.46 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {DEA} = \widehat {DCK} = 30^\circ + 10^\circ = 40^\circ \hfill \\ \widehat {DEC} = \widehat {DKC} = 70^\circ \hfill \\ \widehat {DKE} = \widehat {DCE} = 30^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα από το τρίγωνο ADK

η εξωτερική του γωνία στο

είναι: $\widehat {KDC} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ = \widehat {DKC} \Rightarrow \boxed{DC = R = AB}$ .

Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις της εκφώνησης και η γωνία που ζητάμε είναι $40^\circ$ .

Ορέστης Λιγνός · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm
[

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι $AB=\Gamma \Delta$ .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Καλησπέρα.

Σχηματίζουμε το ισοσκελές τραπέζιο ABCK

. Παίρνουμε τώρα σημείο

πάνω στην

ώστε

. Τέλος, παίρνουμε σημείο

πάνω στην

ώστε

.

Αφού το ABCK

είναι ισοσκελές τραπέζιο, είναι $\angle ABC=\angle KCB \Rightarrow ACK=20^\circ$ και επίσης CK=AB=CD

.

Άρα, το $\vartriangle DCK$ είναι ισοσκελές, οπότε $\angle KDC=\angle DKC=80^\circ$ . Επίσης, από το τρίγωνο $\vartriangle DEC$ , είναι $\angle LDC=80^\circ$ . Επομένως, τα τρίγωνα $\vartriangle DLC, DKC$ έχουν $DL=DK, \angle LDC=\angle KDC$ , άρα είναι ίσα. Επομένως, CK=CL=CD

.

Άρα, το

και το

ανήκουν στη μεσοκάθετο της

, οπότε

. Επίσης, $\angle AKC=180^\circ-\angle ABC=130^\circ \Rightarrow 130^\circ=\angle AKC=\angle AKL+\angle LKC=\angle AKL+90^\circ-\angle KCD=\angle AKL+70^\circ \Rightarrow \angle AKL=60^\circ$ .

Επομένως, $AK=AL, \angle AKL=60^\circ$ , άρα το $\vartriangle AKL$ είναι ισόπλευρο. Άρα, αφού το AKCB

είναι ισοσκελές τραπέζιο, είναι LB=LC

.

Επίσης, $\angle LBC=\angle LCB=10^\circ$ .
Τώρα, τα τρίγωνα $\vartriangle MAB, \vartriangle LEC$ έχουν AM=LE, AB=KC=LC

και $\angle BAM=180^\circ-50^\circ-30^\circ=100^\circ=\angle ELC$ , άρα είναι ίσα.

Επομένως, $BM=EC, \angle ABM=\angle LCE=10^\circ, \angle AMB=70^\circ$ .

Τώρα, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\vartriangle MBL, \vartriangle DEC$ έχουν $MB=EC, BL=LC=DC, \angle MBL=\angle DCE=30^\circ$ , άρα είναι ίσα και $\angle BML=70^\circ$ .

Επομένως, $\angle DML=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$ , και αφού $80^\circ=\angle DML+\angle MLD \Rightarrow \angle DML=\angle MLD=40^\circ \Rightarriw DM=DL$ .

Άρα, $DA=DM+MA=DL+LE=DE \Rightarrow \angle DAE=\angle AED=\theta \Rightarrow 80^\circ=2\theta \Rightarrow \boxed{\theta=40^\circ}$ .

: fanis 97.png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

: Τρίγωνο 97.png (21.74 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Εναλλάκτικά:

Έστω

σημείο της

ώστε $\widehat{SAC}=40^o$ και

σημείο στην

ώστε $\widehat{STC}=80^o$ .

Ισχύει προφανώς ότι το τρίγωνο STA

είναι ισοσκελές.

Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα

και έστω πως τέμνει για δεύτερη φορά την

στο

.

Έχουμε ότι $\widehat{TSC}=70^o$ , άρα αφού TS=TK

ισχύει ότι $\widehat{STK}=40^o$ , οπότε η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{STC}$ .

Ταυτόχρονα η $\widehat{STK}$ ως επίκεντρη της $\widehat{SAK}$ είναι διπλάσιά της, οπότε $\widehat{SAK}=20^o$ , άρα η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{SAC}$ .

Από θεωρήματα διχοτόμων έχουμε ότι:

$\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{TS}{TC}$ και $\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{AS}{AC}$ , άρα $\dfrac{TS}{TC}=\dfrac{AS}{AC}\Leftrightarrow \dfrac{TS}{AS}=\dfrac{TC}{AC}$ .

Ισχύει από νόμο ημιτόνων ότι $\dfrac{TS}{AS}=\dfrac{\sin{40^o}}{\sin{100^o}}$ .

Όμως $\dfrac{\sin{40^o}}{\sin{100^o}}=\dfrac{\sin{30^o}}{\sin{50^o}}\Leftrightarrow \dfrac{\sin{40^o}}{\sin{30^o}}=\dfrac{\sin{100^o}}{\sin{50^o}}\Leftrightarrow 2\sin{40^o}=2\cos{50^o}$ που ισχύει.

Οπότε $\dfrac{TS}{AS}=\dfrac{\sin{30^o}}{\sin{50^o}}$ , άρα από τα παραπάνω $\dfrac{TC}{AC}=\dfrac{\sin{30^o}}{\sin{50^o}}$ .

Όμως από νόμο ημιτόνων έχουμε ότι $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sin{30^o}}{\sin{50^o}}$ .

Οπότε AB=TC

και επομένως $T\equiv D$ και ως αποτέλεσμα $S\equiv E$ .

Άρα $\widehat{EAC}=40^o$ .

Τρίγωνο-97.

Τρίγωνο-97.

Re: Τρίγωνο-97.

Re: Τρίγωνο-97.

Re: Τρίγωνο-97.

Re: Τρίγωνο-97.

Μέλη σε σύνδεση