Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε τη μέγιστη ακέραια τιμή που μπορεί να λάβει το τμήμα

.

Ορέστης Λιγνός · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φανης Θεοφανιδης · #3

Εγώ Ορέστη βρίσκω

.

Ορέστης Λιγνός · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 15, 2018 8:19 pm

1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε τη μέγιστη ακέραια τιμή που μπορεί να λάβει το τμήμα .

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 8:12 pm
Εγώ Ορέστη βρίσκω .

Ναι σωστά

.

Παίρνουμε σημείο στην

ώστε

.
Τότε, τα τρίγωνα $\vartriangle ABD, \vartiangle ADE$ έχουν $AB=AE=20, \angle BAD=\angle DAE$ και την

κοινή, άρα είναι ίσα.

Επομένως, DE=DB

και $\angle AED=2\phi$ . Άρα, αφού $\angle ECD=\phi \Rightarrow \angle EDC=\angle ECD \Rightarrow EC=ED=DB$ .

Από την τριγωνική ανισότητα τώρα, είναι $AB+AC>BC \Rightarrow 20+20+EC>BD+DC \Rightarrow CD<40 \Rightarrow$ η μέγιστη ακέραια τιμή του

είναι

.

Μένει να ελέγξουμε αν το CD=39

είναι πιθανό.
Πράγματι, αν CD=39

, από Θ. Διχοτόμου ( BD=DE=EC=x

) έχουμε $\dfrac{20}{20+x}=\dfrac{x}{39} \Rightarrow x^2+20x=780$ , από όπου εύκολα βρίσκουμε την τιμή του

.

Φανης Θεοφανιδης · #5

#6

Γράφω τον κύκλο (A,AC)

που τέμνει ακόμα τη

στο

.

Επειδή $\widehat E = \widehat C = \widehat \phi \,\,$ και η εξωτερική γωνία στο

του τριγώνου BAE

είναι $2\widehat \phi$ ,

το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με $BA = BE = 20 \Rightarrow AE < 20 + 20 = 40 \Rightarrow AC < 40$ .

: Μεγίστη ακέραια πλευρά.png (28.39 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Ακόμα επειδή $3\widehat \phi + 2\widehat \theta = 180^\circ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\widehat \phi + \widehat \theta = 90^\circ \Rightarrow 2\widehat \phi + \widehat \theta > 90^\circ$ δηλαδή η γωνία $\widehat \omega > 90^\circ$ οπότε στο $\vartriangle ADC$ η μεγαλύτερη πλευρά είναι η AC < 40

, άρα και

συνεπώς η μεγαλύτερη ακεραία τιμή που ενδέχεται να πάρει είναι

.

Παρατήρηση :

Τότε επειδή $AE = ED = 20 + BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A{C^2} - A{B^2} = EB \cdot BC$ προκύπτουν :

$\boxed{a = 4\sqrt {55} + 29}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{b = 4\sqrt {55} + 10}$

Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Re: Μέγιστη ακέραια τιμή τμήματος.

Μέλη σε σύνδεση