Ισόπλευρο με αιτία.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ισόπλευρο με αιτία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am

1.png
1.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC με βαρύκεντρο το σημείο O.

Αν P το συμμετρικό του O ως προς την AC, M το μέσο της AB

και D\equiv MP\cap AC, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(AMD)}{(ABC)}.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 21, 2019 11:04 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png


Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC με βαρύκεντρο το σημείο O.

Αν P το συμμετρικό του O ως προς την AC, M το μέσο της AB

και D\equiv MP\cap AC, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(AMD)}{(ABC)}.

Είναι, \displaystyle AP//MC \Rightarrow \left( {AMD} \right) = \left( {DPC} \right) = \left( {DOC} \right) = S και με

\displaystyle N μέσον της \displaystyle OC \Rightarrow \left( {AMC} \right) = \frac{{5S}}{2} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{S}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{5}}


Ισόπλευρο με αιτία.png
Ισόπλευρο με αιτία.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 21, 2019 11:39 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png


Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC με βαρύκεντρο το σημείο O.

Αν P το συμμετρικό του O ως προς την AC, M το μέσο της AB

και D\equiv MP\cap AC, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(AMD)}{(ABC)}.
Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου. Το AOP είναι προφανώς ισόπλευρο με πλευρά \dfrac{a\sqrt 3}{3}.
Ισόπλευρο με αιτία.png
Ισόπλευρο με αιτία.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
\displaystyle \frac{{(AMD)}}{{(ABC)}} = \frac{{(AMD)}}{{2(AMC)}} = \frac{{AD}}{{2a}}.

Αλλά, \displaystyle \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AP}}{{MC}} = \frac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{a} = \dfrac{2}{5}. Άρα, \boxed{\frac{{(AMD)}}{{(ABC)}} = \frac{1}{5}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 21, 2019 1:18 pm

Καλό μεσημέρι σε όλους.
Ισόπλευρο Φ.Θ.PNG
Ισόπλευρο Φ.Θ.PNG (7.26 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Εύκολα βρίσκουμε ότι το AOP είναι ισόπλευρο οπότε \dfrac{\left ( AOP \right )}{\left ( BAC \right )}=\left (\dfrac{OA}{a}  \right )^{2}=\dfrac{1}{3} και OM\parallel AP\Rightarrow \left ( MAP \right )=\left ( AOP \right )

Φέρω MN \perp BE\Rightarrow MN\parallel AE τότε \dfrac{MD}{DP}=\dfrac{NE}{EP}=\dfrac{BE/2}{BE/3}=\dfrac{3}{2}

Παίρνουμε \left ( MAD \right )=\dfrac{3}{5}\left ( MAP \right )=\dfrac{3}{5}\left ( AOP \right )=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\left ( BAC \right )}{3} δηλαδή \boxed{\dfrac{\left ( MAD \right )}{\left (ABC  \right )}=\dfrac{1}{5}}

Εναλλακτικά για τους προχωρημένους juniors με το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABE και διατέμνουσα την MDP

παίρνουμε \dfrac{AD}{DE}=4\Rightarrow AD=\dfrac{2}{5}a οπότε \dfrac{\left ( MAD \right )}{\left (ABC  \right )}=\dfrac{AM\cdot AD}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{5}. Φιλικά , Γιώργος


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Κυρ Απρ 21, 2019 5:01 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 9:57 am
1.png


Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC με βαρύκεντρο το σημείο O.

Αν P το συμμετρικό του O ως προς την AC, M το μέσο της AB

και D\equiv MP\cap AC, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(AMD)}{(ABC)}.
draw1.png
draw1.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
..καλό μεσημέρι..

ονομάζουμε \displaystyle AB=a,\,\,\,\,DH=x. Επειδή \displaystyle HP=OH=\frac{BH}{3} με \displaystyle BH=a\cdot \sqrt{3}\Rightarrow \frac{PB}{PH}=\frac{1}{4}\,\,\,(1)

Στο τρίγωνο \displaystyle AHB με διατέμνουσα την \displaystyle P,D,M\Rightarrow \frac{PB}{PH}\cdot \frac{DH}{DA}\cdot \frac{MA}{MB}=1\Rightarrow ....\Rightarrow \frac{x}{a-x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{a}{5}\,\,\,(2).

Όμως: \displaystyle (AMD)=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AD\cdot \eta \mu \widehat{MAD}\Rightarrow ...(AMD)=\frac{\sqrt{3}}{5}\cdot a^{2}\,\,\,(3). Επίσης: \displaystyle (ABC)=\sqrt{3}\cdot a^{2}\,\,\,(4))

Από τις σχέσεις (4),(5) έχουμε: \boxed{\displaystyle\frac{(AMD)}{(ABC)}=\frac{1}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες