Διχοτόμηση τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διχοτόμηση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 29, 2019 5:53 pm

Διχοτόμηση τμήματος..png
Διχοτόμηση τμήματος..png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές
Από τις κορυφές B, C ορθογωνίου τριγώνου ABC φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα BC και θεωρώ

επί αυτών τα σημεία Q, P αντίστοιχα ώστε BQ=BA και CP=CA. Οι BP, CQ τέμνονται στο S και οι AP, AQ

τέμνουν την BC στα M, N. Να δείξετε ότι η AS διχοτομεί το τμήμα MN.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Διχοτόμηση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Ιουν 30, 2019 7:58 pm

Αν θεωρήσουμε το ύψος AA’ του τριγώνου ABC κατανοούμε ότι οι AN,AM είναι διχοτόμοι των \angle BA{A{'}},\;\angle {A{'}}AC αντίστοιχα.
Εύκολα λοιπόν παίρνουμε ότι τα τρίγωνα BMA,\;\;CAN είναι ισοσκελή. Άρα έχουμε BM=c,\;\;CN=b.
Αν τώρα θεωρήσουμε από το S παράλληλη στην BC που τέμνει τις AQ, AP στα K,L αντίστοιχα παίρνουμε: \displaystyle{\frac{{SK}}{{CN}} = \frac{{QS}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{SK}}{b} = \frac{c}{{b + c}}\;\;\left( 1 \right),} \displaystyle{\frac{{SL}}{{BM}} = \frac{{PS}}{{PB}} \Rightarrow \frac{{SL}}{c} = \frac{b}{{b + c}} \Rightarrow \frac{c}{{SL}} = \frac{{b + c}}{b}\;\left( 2 \right).}
Αν πολλαπλασιάσουμε τις \left( 1 \right),\;\left( 2 \right) κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας βέβαια εδώ το θεώρημα της δέσμης με κορυφή την A και ακτίνες AK, AS, AL.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 30, 2019 10:20 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 7:58 pm
Αν θεωρήσουμε το ύψος AA’ του τριγώνου ABC κατανοούμε ότι οι AN,AM είναι διχοτόμοι των \angle BA{A{'}},\;\angle {A{'}}AC αντίστοιχα.
Εύκολα λοιπόν παίρνουμε ότι τα τρίγωνα BMA,\;\;CAN είναι ισοσκελή. Άρα έχουμε BM=c,\;\;CN=b.
Αν τώρα θεωρήσουμε από το S παράλληλη στην BC που τέμνει τις AQ, AP στα K,L αντίστοιχα παίρνουμε: \displaystyle{\frac{{SK}}{{CN}} = \frac{{QS}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{SK}}{b} = \frac{c}{{b + c}}\;\;\left( 1 \right),} \displaystyle{\frac{{SL}}{{BM}} = \frac{{PS}}{{PB}} \Rightarrow \frac{{SL}}{c} = \frac{b}{{b + c}} \Rightarrow \frac{c}{{SL}} = \frac{{b + c}}{b}\;\left( 2 \right).}
Αν πολλαπλασιάσουμε τις \left( 1 \right),\;\left( 2 \right) κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας βέβαια εδώ το θεώρημα της δέσμης με κορυφή την A και ακτίνες AK, AS, AL.
Πολύ ωραίο Σωτήρη ! :clap2:


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Διχοτόμηση τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 01, 2019 8:12 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 10:20 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 7:58 pm
Αν θεωρήσουμε το ύψος AA’ του τριγώνου ABC κατανοούμε ότι οι AN,AM είναι διχοτόμοι των \angle BA{A{'}},\;\angle {A{'}}AC αντίστοιχα.
Εύκολα λοιπόν παίρνουμε ότι τα τρίγωνα BMA,\;\;CAN είναι ισοσκελή. Άρα έχουμε BM=c,\;\;CN=b.
Αν τώρα θεωρήσουμε από το S παράλληλη στην BC που τέμνει τις AQ, AP στα K,L αντίστοιχα παίρνουμε: \displaystyle{\frac{{SK}}{{CN}} = \frac{{QS}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{SK}}{b} = \frac{c}{{b + c}}\;\;\left( 1 \right),} \displaystyle{\frac{{SL}}{{BM}} = \frac{{PS}}{{PB}} \Rightarrow \frac{{SL}}{c} = \frac{b}{{b + c}} \Rightarrow \frac{c}{{SL}} = \frac{{b + c}}{b}\;\left( 2 \right).}
Αν πολλαπλασιάσουμε τις \left( 1 \right),\;\left( 2 \right) κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας βέβαια εδώ το θεώρημα της δέσμης με κορυφή την A και ακτίνες AK, AS, AL.
Πολύ ωραίο Σωτήρη ! :clap2:
Καλημέρα φίλε μου Νίκο.
Απλά να σου πω ότι η ισοσκελία των τριγώνων BMA,\;\;CAN βγαίνει και χωρίς να θεωρήσουμε το ύψος AA'. Αλλά γράφοντας την λύση άμεσα και χωρίς να τη "ρετουσάρω", δηλαδή επί του πιεστηρίου, επειδή μου άρεσε η πλοκή να πάω ως ιδέα επίλυσης μέσω δέσμης ευθειών, εδώ και σε πρώτη φάση το χρησιμοποίησα. Μετά βέβαια είδα ότι τεχνικά βγαίνει και με τον άλλο απλό τρόπο χωρίς δηλαδή τη θεώρηση το ύψους. Ευτυχώς ή δυστυχώς έχουμε κάποιοι εδώ το στοιχείο του αυθορμητισμού και ενθουσιασμού ως λύτες ακόμα ζωντανό, θεωρώντας ότι ένας από αυτούς είσαι και εσύ.
Any way.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διχοτόμηση τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 22, 2020 10:36 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 5:53 pm
Διχοτόμηση τμήματος..png
Από τις κορυφές B, C ορθογωνίου τριγώνου ABC φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα BC και θεωρώ

επί αυτών τα σημεία Q, P αντίστοιχα ώστε BQ=BA και CP=CA. Οι BP, CQ τέμνονται στο S και οι AP, AQ

τέμνουν την BC στα M, N. Να δείξετε ότι η AS διχοτομεί το τμήμα MN.
Έστω \rm K\equiv AS\cap BC.Είναι \rm BAM=90^{\circ}-\angle CAP=90^{\circ}-\dfrac{180^{\circ}-\angle ACP}{2}=\dfrac{90^{\circ}+\angle C}{2}=\dfrac{180^{\circ}-\angle B }{2}\Leftrightarrow BA=BM και ομοίως \rm CA=CN.
Είναι \rm MN=MB-BN=c-\left ( a-b \right )=b+c-a άρα αν θέσω \rm KP=x αρκεί \rm x=\dfrac{b+c-a}{2}.
Από το θεώρημα Μενελάου στο \rm BMP διατέμνουσας \overline{SKA} είναι \rm \dfrac{x}{c-x}\cdot \dfrac{SB}{SP}\cdot \dfrac{AP}{AM}=1
Από το γενικευμένο θεώρημα διχοτόμων στο \rm ACP έχω \rm \dfrac{AP}{AM}=1+\dfrac{MP}{AM}=1+\dfrac{b\sin 90^{\circ}}{b\sin \angle C}=\dfrac{a+c}{c}.
Άρα είναι \rm \dfrac{x}{c-x}\cdot \dfrac{a+c}{c}\cdot \dfrac{c}{b}=1\Leftrightarrow x=\dfrac{bc}{a+b+c}
Αρκεί λοιπόν \rm \dfrac{bc}{a+b+c}=\dfrac{b+c-a}{2}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2 που ισχύει και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης