Τρίγωνο-129.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 11.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=CD

.
Βρείτε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 23, 2020 6:12 pm
11.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Βρείτε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

Καλησπέρα!

: Τρίγωνο-129.png (28 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle D\widehat BA = 6^\circ .$ Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ABE

όπως φαίνεται στο σχήμα.

$\displaystyle D\widehat AP = 48^\circ = A\widehat DP \Leftrightarrow PA = PD\mathop \Rightarrow \limits^{CD = AE} PE = PC \Rightarrow AD||CE,$ άρα

$\displaystyle A\widehat EC = 48^\circ ,B\widehat CE = 36^\circ = E\widehat BC \Rightarrow BE = EC = EA$ και $\displaystyle E\widehat CA = \frac{{180^\circ - 48^\circ }}{2} = 66^\circ \Rightarrow$ $\boxed{\theta=18^\circ}$

Παρατήρηση: Η γωνία $\displaystyle B\widehat AD = 12^\circ$ θα μπορούσε να μη δοθεί. Προκύπτει από τα υπόλοιπα δεδομένα.

Φανης Θεοφανιδης · #3

Σωστή η παρατήρηση Γιώργο.
Θα μπορούσε επίσης να δοθεί η εν λόγω γωνία και να μη δοθεί ότι AB=CD.
Έχω μία λύση που δεν χρειάστηκε πουθενά η ισότητα αυτή.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 24, 2020 10:12 pm
Σωστή η παρατήρηση Γιώργο.
Θα μπορούσε επίσης να δοθεί η εν λόγω γωνία και να μη δοθεί ότι AB=CD.
Έχω μία λύση που δεν χρειάστηκε πουθενά η ισότητα αυτή.

Μία απόδειξη της ισότητας. Με τριγωνομετρικό Ceva:

$\displaystyle \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 18^\circ }} \cdot \frac{{\sin 12^\circ }}{{\sin \theta }} \cdot \frac{{\sin (48^\circ + \theta )}}{{\sin 12^\circ }} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{\sin \theta }}{{\sin (48^\circ + \theta )}} = \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 18^\circ }}}$

Με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ADC, ADB

η παραπάνω ισότητα γράφεται: $\displaystyle \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB=CD}$

Φανης Θεοφανιδης · #5

: 12.png (29.2 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

Και μία γεωμετρική απόδειξη της ισότητας.

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο DPC

, ονομάζω $M\equiv BD\cap PC$ και φέρνω τα τμήματα PB, PA

.
Είναι $\angle CDM=30^{0}\Rightarrow BD$ μεσοκάθετος του

.
Οπότε $\angle DBP=18^{0}$ και $\angle BPD=12^{0}$ .
Αλλά $\angle MDA=18^{0}$ .
Παρατηρώ ότι το DBPA

είναι τραπέζιο ( $BP\parallel DA$ ) και μάλιστα εγγράψιμο ( $\angle BAD=\angle BPD=12^{0}$ ).
Άρα είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Συνεπώς $BA=PD\Rightarrow BA=CD$ .

Τρίγωνο-129.

Τρίγωνο-129.

Re: Τρίγωνο-129.

Re: Τρίγωνο-129.

Re: Τρίγωνο-129.

Re: Τρίγωνο-129.

Μέλη σε σύνδεση