Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

#1

: Εγγεγραμμένο πεντάγωνο.png (19.16 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Το πεντάγωνο ABCDE

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

και ισχύουν $\widehat A=90^\circ$ και AB=CD

. Το σημείο

κινείται στη χορδή

και η

επανατέμνει τον κύκλο στο

Αν οι

τέμνονται στο

και οι

στο

να δείξετε ότι το τετράπλευρο ELBF

είναι εγγράψιμο.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 6:38 pm
Εγγεγραμμένο πεντάγωνο.png
Το πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και ισχύουν $\widehat A=90^\circ$ και . Το σημείο

κινείται στη χορδή και η επανατέμνει τον κύκλο στο Αν οι τέμνονται στο και οι

στο να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Είναι $\angle{JFE}=\angle{AFD}=90^{0}-\angle{ABF}=90^{0}-\angle{ABJ}$
Όμως
$\angle{JKE}=\angle{CDK}=180^{0}-\angle{JDC}-\angle{ECD}=180^{0}-\frac{τοξJC+τοξDE}{2}=180^{0}-\frac{360^{0}-JE-CD}{2}= \frac{JE}{2}+\frac{CD}{2}=\frac{JE}{2}+\frac{AB}{2}=\angle{EDJ}+\angle{ADB}=90-\angle{JDA}=90^{0}-\angle{ABJ}$
Άρα το τετράπλευρο JFKE

είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Θεωρούμε τώρα την ημιευθεία

που διέρχεται από το

.
Τότε $\angle{xBC}=\angle{JEC}=\angle{JEK}=\angle{KFB}\Rightarrow BC//FK$ .
Οπότε $\angle{EKL}=\angle{EDL}=90^{0}\Rightarrow KDLE$ εγγράψιμο σε κύκλο.
Συνεπώς $\angle{ELB}=\angle{ELD}=\angle{CDK}=\angle{JKE}=\angle{JFE}=\angle{AFB}$ , απ´όπου το ζητούμενο έπεται.
(Αντι για να γράψω τα μέτρα των τόξων έγραψα τα μήκη τους

. Μπορεί κάποιος να μου πει πώς μπορούμε να το εισάγουμε
στη Latex

;Θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα)

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 7:47 pm

(Αντι για να γράψω τα μέτρα των τόξων έγραψα τα μήκη τους . Μπορεί κάποιος να μου πει πώς μπορούμε να το εισάγουμε
στη ;Θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα)

$\overset{\frown}{AM}$

Βάλε το δείκτη του ποντικιού στο πιο πάνω και θα δεις αυτό που θέλεις .

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

Re: Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

Re: Εγγεγραμμένο πεντάγωνο

Μέλη σε σύνδεση