Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8104
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 10, 2021 11:02 am

Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\left( {AB = AC} \right) και σημείο D της πλευράς BC τέτοιο ώστε: BD = 2DC.

Στην AD θεωρούμε σημείο P για το οποίο \widehat {BPD} = \widehat {BAC}.

Δείξετε ότι: \widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2116
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Φεβ 10, 2021 7:22 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 11:02 am
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\left( {AB = AC} \right) και σημείο D της πλευράς BC τέτοιο ώστε: BD = 2DC.

Στην AD θεωρούμε σημείο P για το οποίο \widehat {BPD} = \widehat {BAC}.

Δείξετε ότι: \widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}
Καλησπέρα Νίκο

Γράφουμε τους κύκλους (B,P,D),(D,P,C)

και AH\perp BC,GL//AH,J\Theta //AH,BL=\dfrac{a}{3},LH=HD=DJ=JC=\dfrac{a}{6},

Τότε είναι \hat{BPD}=\hat{BGD}=\omega =\hat{A}\Rightarrow GD//AC,\hat{DPC}=\phi =\hat{DTC}

Ακόμη απο τις τεμνομενες χορδές AG.AB=AP.AD=AT.AC\Rightarrow AG=AT


Οπότε GMHL είναι ορθογώνιο και MTDH είναι παραλληλόγραμμομε μια γωνια ορθή

άρα ορθογώνιο (MT//HD,MT=HD) Αρα \hat{TDC}=90^{0}


και \hat{DTC}=\hat{\phi }=\hat{HAC}=\dfrac{\omega }{2}\Leftrightarrow \omega =2\phi

Διευκρινίζεται ότι αποδείχτηκε : \hat{TDC}=90^{0},DJ=JC,J\Theta \perp AC ;άρα το

σημείο \Thetaείναι το κέντρο του κύκλου (D,P,C). Ακόμη δεν είναι απαραίτητο οι ευθείες

BP,AH,GDνα συντρέχουν
Συνημμένα
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png (92.45 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 11, 2021 10:39 am

Δίνω την κατασκευή του σχήματος.
ΔΤ.ΔΓ.α.png
ΔΤ.ΔΓ.α.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές
Φέρνω από το C παράλληλη στην AD που τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο L. Η BL τέμνει την AD στο ζητούμενο σημείο P.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Πέμ Φεβ 11, 2021 1:35 pm

Άλλη κατασκευή:
Φέρνουμε τον περιγεγραμενο κύκλο του ABO(O περίκεντρο του ABC) τότε ο κύκλος αυτός τέμνει την AD στο P


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Φεβ 11, 2021 8:14 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 11:02 am
Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\left( {AB = AC} \right) και σημείο D της πλευράς BC τέτοιο ώστε: BD = 2DC.

Στην AD θεωρούμε σημείο P για το οποίο \widehat {BPD} = \widehat {BAC}.

Δείξετε ότι: \widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}
έχει τεθεί και παλαιότερα

viewtopic.php?f=22&t=34982&p=162049#p162049


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 12, 2021 3:12 pm

Θα στηριχτώ στην κατασκευή μου ότι CL||AD. Έστω N το μέσο του BP. Εύκολα βρίσκω BN=NP=PL.
ΔΤ.ΔΓ.β.png
ΔΤ.ΔΓ.β.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
\displaystyle \widehat A = \omega ,A\widehat LP = \widehat B, άρα τα τρίγωνα PAL, ABC είναι ισογώνια κι επειδή AB=AC θα είναι

\displaystyle AP = PL = PN \Leftrightarrow N\widehat AL = 90^\circ  \Leftrightarrow A\widehat NL + \widehat B = 90^\circ  \Leftrightarrow \boxed{2A\widehat NL = \widehat A} (1)

Αλλά, \displaystyle A\widehat BL = A\widehat CL = P\widehat AC, άρα τα τρίγωνα ABN, CAP είναι ίσα και \displaystyle A\widehat NL = \varphi \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{2\varphi=\widehat A}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης