Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Lymperis Karras · #1

Σε ένα επίπεδο δίνονται τα σημεία A,B

, $A\neq B$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

του επιπέδου με την ιδιότητα $\vec{BM}(\vec{BM}+\vec{BA})=k^{2}$ , όπου

δοθείς θετικός αριθμός.

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Αρχικά προσαρμόζω τα σημεία σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων.

: 25-04-2021 Γεωμετρία.png (33.94 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Έστω τα σταθερά σημεία $\displaystyle A\left( {a,0} \right),\;\;B\left( {0,0} \right)$ , με $\displaystyle a \ne 0$ και το μεταβλητό σημείο $\displaystyle M\left( {x,y} \right)$ .

$\overrightarrow {BM} (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BA} ) = {k^2} \Leftrightarrow \left( {x,y} \right)\left( {x + a,y} \right) = {k^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + ax + \;{y^2} = {k^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + 2\frac{a}{2}x + {\frac{a}{4}^2} + \;{y^2} = {k^2} + \frac{{{a^2}}}{4}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + \;{y^2} = {k^2} + \frac{{{a^2}}}{4}$

Οπότε, ο Γ.Τ. του

είναι κύκλος με κέντρο $\displaystyle K\left( { - \frac{a}{2},0} \right)$ και ακτίνα $\displaystyle r = \sqrt {{k^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}$

Γενικεύοντας για τυχαία A, B

στο επίπεδο, ο γεωμετρικός τόπος του

είναι ο κύκλος με κέντρο σημείο

ώστε $\displaystyle \overrightarrow {KB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$ και με ακτίνα $\displaystyle \sqrt {{k^2} + \frac{{{{\left( {AB} \right)}^2}}}{4}}$ .

Απόδειξη:
Έστω A, B

τυχαία σταθερά σημεία στο επίπεδο, και σημείο

ώστε $\displaystyle \overrightarrow {KB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$

Τότε $\displaystyle \overrightarrow {BM} (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BA} ) = {k^2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KM} } \right)\left( {\overrightarrow {KM} - \overrightarrow {BK} } \right) = {k^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {KM} ^2} = {k^2} + {\overrightarrow {BK} ^2} = {k^2} + \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2}}}{4}$ , σταθερό, οπότε το

βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο το σημείο

και με ακτίνα $\displaystyle \sqrt {{k^2} + \frac{{{{\left( {AB} \right)}^2}}}{4}}$ .

#3

Θεωρώ Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $A\left( {0,0} \right)$ και οριζόντιο άξονα την ευθεία

, έστω δε $B\left( {b,0} \right)\,\,,\,\,\,b > 0$ . Ας είναι και $M\left( {x,y} \right)$ .

Για κάθε σημείο

δίδεται ότι : $\overrightarrow {MB} \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} } \right) = {k^2}\,\,\left( 1 \right)$ Αλλά ,

: Διανύσματα και γεωμετρία.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BM} = \left( {x - b,y} \right),\,\overrightarrow {BA} = \left( { - b,0} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BA} = \left( {x - 2b,y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Οπότε η $\left( 1 \right)$ γράφεται: $\left( {x - 2b} \right)\left( {x - b} \right) + {y^2} = {k^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3bx + 2{b^2} - {k^2} = 0$ και παριστάνει

κύκλο κέντρου $O\left( {\dfrac{{3b}}{2},0} \right)$ κι ακτίνας $R = \dfrac{1}{2}\sqrt {9{b^2} - 4\left( {2{b^2} - {k^2}} \right)} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{b^2} + {{\left( {2k} \right)}^2}}$

Παρατήρηση

Στο σχήμα έχουν επιλεγεί , $B\left( {6,0} \right)\,\kappa \alpha \iota \,\,\,k = 4$ και προέκυψαν : $O\left( {9,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = 5$

#4

Με το πλεονέκτημα ότι ξέρω την απάντηση μπορώ να δώσω αβίαστα και αμιγώς διανυσματική λύση

: Διανύσματα και γεωμετρία_new.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Έστω σημείο

στην προς το

προέκταση του

με

.

Ισοδύναμα τώρα έχω:

$\overrightarrow {BM} \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BA} } \right) = {k^2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right) = {k^2}$ ή

$\left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OB} } \right) = {k^2}$ δηλαδή: ${\overrightarrow {OM} ^2} = {\overrightarrow {OB} ^2} + {k^2}$ .

Το $\overrightarrow {|OB} |$ είναι σταθερό κι αν AB = b

θα προκύψει: $\boxed{OM = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + 4{k^2}} }$

Δηλαδή κύκλος με κέντρο το σταθερό σημείο

κι ακτίνα , $\boxed{R = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + 4{k^2}} }$

Lymperis Karras · #5

Καλημέρα σε όλους. Να και άλλη μια λύση χωρίς την χρήση του συστήματος συντεταγμένων.

Μετά από πράξεις (με συμπλήρωση τετραγώνου) έχουμε:

$(\overrightarrow{BM}+\dfrac{\overrightarrow{BA}}{2})^{2}=k^{2}+\dfrac{\overrightarrow{BA}^{2}}{4}=m$ , με m= constant

Έστω

το μέσον της

.

Τότε $(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BZ})^{2}=m$

Φέρνουμε το συμμετρικό του

ως προς το

(έστω

).

Θα έχουμε λοιπόν $\overrightarrow{Z'B}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BZ}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{Z'M}$

Οπότε αντικαθιστώντας παίρνουμε πως το

κινείται σε σταθερό κύκλο κέντρου

και ακτίνας $\sqrt{m}$

Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BZ}=2\overrightarrow{BL}$ με

μέσον της

.

Τότε θα ήταν:
$\overrightarrow{BL}^{2}=\dfrac{1}{4}m\Leftrightarrow \left | \overrightarrow{BL} \right |=\dfrac{1}{2}\sqrt{m}$

Οπότε το

κινείται σε κύκλο κέντρου

και ακτίνας $\dfrac{1}{2}\sqrt{m}$ , και τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την θέση του σημείου

,το

οποίο θα βρίσκεται σε απόσταση $\dfrac{ZL}{2}$ από το

, στην προέκταση της

.

Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.

Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!

Μέλη σε σύνδεση