Κι άλλα διανύσματα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Κι άλλα διανύσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Παρ Μάιος 07, 2021 2:22 pm

Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο ABC. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M για τα οποία είναι

\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κι άλλα διανύσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 2:22 pm
Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο ABC. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M για τα οποία είναι

\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |
\displaystyle \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} όπου G το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται:
Διανύσματα.Λ.png
Διανύσματα.Λ.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|. Αλλά, \displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} , όπου P σημείο της BC ώστε CP=2PB.

Άρα, \displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r, που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (G,r).


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Κι άλλα διανύσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Παρ Μάιος 07, 2021 6:23 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm


\displaystyle \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} όπου G το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|. Αλλά, \displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} , όπου P σημείο της BC ώστε CP=2PB.

Άρα, \displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r, που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (G,r).

:first: :10sta10:
Πώς αποδεικνύεται όμως ότι \displaystyle \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} όπου G το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Κι άλλα διανύσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Μάιος 07, 2021 7:03 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 6:23 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm


\displaystyle \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} όπου G το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|. Αλλά, \displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} , όπου P σημείο της BC ώστε CP=2PB.

Άρα, \displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r, που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (G,r).

:first: :10sta10:
Πώς αποδεικνύεται όμως ότι \displaystyle \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} όπου G το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???
Λυμπέρη η σχέση αυτή είναι πασίγνωστη! Μην κοιτάς που εμείς στην Ελλάδα την έχουμε "εκτός ύλης". Κοίταξε την εφαρμογή στην σελίδα 25 του σχολικού βιβλίου!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης