Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

#1

Δείξτε ότι κάθε Πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή με ακέραιες πλευρές) έχει την ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου επίσης ακέραιο αριθμό.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 1:30 am
Δείξτε ότι κάθε Πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή με ακέραιες πλευρές) έχει την ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου επίσης ακέραιο αριθμό.

Μιχάλη καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο τρίγωνο:

: Ακέραια ακτίνα εγγ. κύκλου ορθ. τριγώνου.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Αφού οι πλευρές του τριγώνου αυτού έχουν ακέραιες τιμές, θεωρούμε ότι αυτές θα έχουν τη γενική μορφή της

πυθαγόρειας τριάδας, δηλαδή:

$\displaystyle{(AB)=c=k^2-m^2, \ \ (AC)=b= 2km, \ \ (BC)=a=k^2+m^2, \ \ k,m \in Z, \ \ k\geq m}$

Τότε η ζητούμενη ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου θα είναι:

$\displaystyle{ r=s-a=\frac{a+b+c}{2}-a=...=m(k-m) }$

που είναι ακέραια και θετική τιμή.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 1:30 am
Δείξτε ότι κάθε Πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή με ακέραιες πλευρές) έχει την ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου επίσης ακέραιο αριθμό.

Καλημέρα σε όλους!

Στο ίδιο τελικό αποτέλεσμα με τον Κώστα, αλλά από διαφορετικό "δρόμο".

Για $\displaystyle c = {k^2} - {m^2},b = 2km,a = {k^2} + {m^2},k \geqslant m,$ όπου k, m

θετικοί ακέραιοι, είναι:

$\displaystyle \frac{{bc}}{2} = (ABC) = \frac{{a + b + c}}{2} \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{{bc}}{{a + b + c}} = \frac{{2km(k - m)(k + m)}}{{{{(k + m)}^2} + (k - m)(k + m)}} = m(k - m),$

που είναι θετικός ακέραιος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 1:30 am
Δείξτε ότι κάθε Πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή με ακέραιες πλευρές) έχει την ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου επίσης ακέραιο αριθμό.

Δεν νομίζω να χρειάζονται οι Πυθαγόρειες τριάδες
Είναι
$\displaystyle{ r=s-a=\frac{a+b+c}{2}-a$

με a^2+b^2=c^2

Από την τελευταία εύκολα παίρνουμε ότι από τους a,b,c

δεν μπορεί ένας η και οι τρεις να
είναι περιττοί.
Αρα είναι δύο η κανένας.
Αρα το αθροισμα είναι άρτιος και τελειώσαμε.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 29, 2022 11:20 am
.
Δεν νομίζω να χρειάζονται οι Πυθαγόρειες τριάδες
...
...
παίρνουμε ότι από τους δεν μπορεί ένας η και οι τρεις να
είναι περιττοί.
Αρα είναι δύο η κανένας.
Αρα το αθροισμα είναι άρτιος και τελειώσαμε.

Σωστά.

Είχα κατά νου και τις δύο τεχνικές που δόθηκαν παραπάνω αλλά ανάρτησα επίτηδες την άσκηση στους Juniors για να δούμε και την λύση χωρίς χρήση Πυθαγόρειων τριάδων.

Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Re: Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Re: Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Re: Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Re: Ακέραια ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Μέλη σε σύνδεση