Λόγος λόγω ακτίνας

#1

: Λόγος λόγω ακτίνας.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC),

είναι

τα μέσα των AB, BC

αντίστοιχα και

η ακτίνα του

περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν ο κύκλος που διέρχεται από τα A, M, C

τέμνει την

στο

και

να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{R}{m}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 20, 2022 7:08 pm
Λόγος λόγω ακτίνας.png
Σε ισοσκελές τρίγωνο είναι τα μέσα των αντίστοιχα και η ακτίνα του

περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν ο κύκλος που διέρχεται από τα τέμνει την στο και

να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{R}{m}.$

Ας είναι

το σημείο τομής του ύψους

με τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ .

Είναι , $OM \bot AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB \bot AB$ , λόγω αποστήματος και γωνίας που βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα OM//BS

.

Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \Rightarrow QM = QC$ . Αλλά QC = QB

γιατί η

μεσοκάθετος στη

, συνεπώς

.

: λόγος λόγω ακτίνας.png (29.29 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

Η κάθετη ευθεία

από το

στη

είναι μεσοκάθετος στο

άρα μεσοπαράλληλη των παραλλήλων $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ .

Έτσι όμως $OQ = QS = \dfrac{R}{2} \Rightarrow \boxed{\dfrac{R}{m} = \dfrac{2}{3}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 20, 2022 7:08 pm
Λόγος λόγω ακτίνας.png
Σε ισοσκελές τρίγωνο είναι τα μέσα των αντίστοιχα και η ακτίνα του

περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν ο κύκλος που διέρχεται από τα τέμνει την στο και

να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{R}{m}.$

Έστω

το κέντρο του κύκλου (A,B,C)

και ο κύκλος (A,M,C)

επανατέμνει την

στο

κι έστω

μέσον του

Επειδή

διχοτόμος της γωνίας

, η

θα είναι διχοτόμος της γωνίας MZB

και $ZQ \bot AB$

Αν $EM \cap ZQ=H$ επειδή MK=KB

θα είναι και ZK=KH

και το

θα είναι κ.βάρους του τριγώνου AHZ

Έτσι, $OM//ZH \Rightarrow \dfrac{R}{m} = \dfrac{AO}{AQ} = \dfrac{AM}{AK}= \dfrac{2}{3}$

: λόγος λόγω ακτίνας.png (22 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

#4

Μία παραλλαγή των παραπάνω λύσεων.

: Λόγος λόγω ακτίνας.β.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Αν

είναι το περίκεντρο του ABC

και

το μέσο του MB,

τότε επειδή QM=QC=QB,

θα είναι

κάθετες στην AB).

Άρα: $\displaystyle \frac{{AO}}{{AQ}} = \frac{{AM}}{{AK}} \Leftrightarrow \frac{R}{m} = \frac{{\frac{c}{2}}}{{\frac{c}{2} + \frac{c}{4}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{R}{m}=\frac{2}{3}}$

Λόγος λόγω ακτίνας

Λόγος λόγω ακτίνας

Re: Λόγος λόγω ακτίνας

Re: Λόγος λόγω ακτίνας

Re: Λόγος λόγω ακτίνας

Μέλη σε σύνδεση