Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλους τους ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{x}$ για τους οποίους ο αριθμός:

$\displaystyle{A=x²+x+1,}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Υγ. Ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί.

#2

Ας δώσουμε 24 ώρες στους μαθητές Γυμνασίου. Θα επανέλθω αύριο αν δεν απαντηθεί.

Dinhoo37 · #3

Δεν έχω ξανανεβάσει λύση μου εδώ.
Για όλα υπάρχει μια πρώτη φορά.
Πρέπει η Διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο. Οι μόνες ακέραιες λύσεις για a,b είναι (1,3), (-1,-3), (3,1) (-3,-1). Από αντικατάσταση αυτών των τιμών και πρόσθεση κατά μέλη των δύο ισοτήτων με a και b βγαίνουν οι τιμές του n. Με αντικατάσταση στο x με τις τιμές του n βγαίνουν οι τιμές που μπορεί να πάρει. $\displaystyle{x^2 + x + 1 = n^2, \ n \in \mathbb{Z}}$
$\displaystyle{\iff x^2 + x + 1 - n^2 = 0,}$
$\displaystyle{D = b^2 - 4ac = 4n^2 - 3}$
$\displaystyle{x = \frac{-1 \pm \sqrt{4n^2 - 3}}{2},}$
$\displaystyle{4n^2 - 3 = y^2, \ y \in \mathbb{Z}}$
$\displaystyle{\iff (2n - y)(2n + y) = 3,}$
$\displaystyle{2n - y = a}$
$\displaystyle{2n + y = b}$
$\displaystyle{n = -1, 1,}$
$\displaystyle{x = \frac{-1 \pm 1}{2}}$
$\displaystyle{\iff x = -1, 0}$

Fotis34 · #4

Dinhoo37 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2026 1:16 pm
Δεν έχω ξανανεβάσει λύση μου εδώ.
Για όλα υπάρχει μια πρώτη φορά.
Πρέπει η Διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο. Οι μόνες ακέραιες λύσεις για a,b είναι (1,3), (-1,-3), (3,1) (-3,-1). Από αντικατάσταση αυτών των τιμών και πρόσθεση κατά μέλη των δύο ισοτήτων με a και b βγαίνουν οι τιμές του n. Με αντικατάσταση στο x με τις τιμές του n βγαίνουν οι τιμές που μπορεί να πάρει. $\displaystyle{x^2 + x + 1 = n^2, \ n \in \mathbb{Z}}$
$\displaystyle{\iff x^2 + x + 1 - n^2 = 0,}$
$\displaystyle{D = b^2 - 4ac = 4n^2 - 3}$
$\displaystyle{x = \frac{-1 \pm \sqrt{4n^2 - 3}}{2},}$
$\displaystyle{4n^2 - 3 = y^2, \ y \in \mathbb{Z}}$
$\displaystyle{\iff (2n - y)(2n + y) = 3,}$
$\displaystyle{2n - y = a}$
$\displaystyle{2n + y = b}$
$\displaystyle{n = -1, 1,}$
$\displaystyle{x = \frac{-1 \pm 1}{2}}$
$\displaystyle{\iff x = -1, 0}$

Αλλιώς με τον δικό μου τρόπο:

Έστω
$\displaystyle x^2+x+1=n^2.$

Πολλαπλασιάζουμε με

:
$\displaystyle 4x^2+4x+4=4n^2.$

Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle 4x^2+4x+1=(2x+1)^2.$

Άρα
$\displaystyle (2x+1)^2+3=4n^2$

και επομένως
$\displaystyle 4n^2-(2x+1)^2=3.$

Διαφορά τετραγώνων:
$\displaystyle (2n-(2x+1))(2n+(2x+1))=3.$

Επειδή οι ακέραιοι παράγοντες του

είναι
$\displaystyle 1\cdot3 \quad \text{και} \quad (-1)\cdot(-3),$
παίρνουμε τα συστήματα

$\displaystyle \begin{cases} 2n-(2x+1)=1\\ 2n+(2x+1)=3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=0,$

ή

$\displaystyle \begin{cases} 2n-(2x+1)=-1\\ 2n+(2x+1)=-3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=-1.$

Άρα
$\displaystyle x=0 \ , \ x=-1.$

Τσιαλας Νικολαος · #5

Καλησπέρα και στους δύο. Για πιο σύντομη λύση δοκιμάστε να φτιάξετε την παράσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τετράγωνα.

Fotis34 · #6

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2026 6:07 pm
Καλησπέρα και στους δύο. Για πιο σύντομη λύση δοκιμάστε να φτιάξετε την παράσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τετράγωνα.

Πολύ σωστή παρατήρηση κ. Νικόλα.

Αν $x \ge 1$ , τότε

$\displaystyle x^2 < x^2+x+1$

και

$\displaystyle x^2+x+1 < x^2+2x+1=(x+1)^2.$

Άρα

$\displaystyle x^2 < x^2+x+1 < (x+1)^2.$

Επομένως ο αριθμός x^2+x+1

βρίσκεται ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα, άρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο για $x \ge 1$ .

Αν x<-1

, θέτουμε

, όπου $k\in\mathbb{Z}$ με $k\ge2$ . Τότε

$\displaystyle x^2+x+1=k^2-k+1.$

Έχουμε

$\displaystyle (k-1)^2=k^2-2k+1 < k^2-k+1 < k^2.$

Άρα και εδώ ο αριθμός βρίσκεται ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα και δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Τέλος,

$\displaystyle x=0 \Rightarrow x^2+x+1=1=1^2$

$\displaystyle x=-1 \Rightarrow x^2+x+1=1=1^2.$

Άρα

$\displaystyle x=0 \quad , \quad x=-1.$

Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Re: Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Re: Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Re: Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Re: Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Re: Τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Μέλη σε σύνδεση