διοφαντική για το 2025

apostoloΚ · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακέραιων αριθμών (x, y, z) που ικανοποιούν την εξίσωση : $\displaystyle{ 2025^x = 5^y + 2000^z }$

vilirent · #2

apostoloΚ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 02, 2025 2:13 am
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακέραιων αριθμών (x, y, z) που ικανοποιούν την εξίσωση : $\displaystyle{ 2025^x = 5^y + 2000^z }$ .

Πρέπει να βρούμε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων αριθμών

(x,y,z) που ικανοποιούν την εξίσωση:
Αντικαθιστούμε το
2025
2025 και το
2000
2000 με τις παραγοντοποιήσεις τους:

#3

vilirent έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 3:27 pm

Πρέπει να βρούμε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων αριθμών

(x,y,z) που ικανοποιούν την εξίσωση:
Αντικαθιστούμε το
2025
2025 και το
2000
2000 με τις παραγοντοποιήσεις τους:

Για κάνε τα λιανά αυτά.

Αλλά και τα νούμερα να έγραφες, πρόκειται για το τετριμμένο βήμα. Η ουσία της άσκησης αρχίζει από εκεί και πέρα.

Ιωάννης Μελισσουργός · #4

Επαναφορά

S.E.Louridas · #5

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 11:35 am

Γράφουμε όλους τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έχουμε:

$2025^x = 5^y + 2000^z \Longleftrightarrow 3^{4x}\cdot 5^{2x}=5^y+2^{4z}\cdot5^{3z}$

Η μεγαλύτερη δύναμη του 5 που διαιρεί το είναι το $5^{2x}$ . Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: $5^{2x}=5^{y}\Leftrightarrow 2x=y$ . Τότε η αρχική γράφεται:

$45^{2x} = 5^y + 2000^z \Leftrightarrow (45^x)^2 - (5^x)^2 = 2000^z \Leftrightarrow (45^x-5^x)\cdot(45^x+5^x) = 2^{4z} \cdot 5^{3z}$ (1)

Για είναι και από την (1) παίρνουμε: $40 \cdot 50= 2000^z \Leftrightarrow 2000=2000^z \Leftrightarrow z=1$
Επομένως έχουμε τη λύση

Για $x\geq 2$ από το θεώρημα Zsigmondy υπάρχει πρώτος τέτοιος ώστε και $p\nmid45-5=40 \Rightarrow p\nmid2$ και $p\nmid 5 \Rightarrow p\neq 2$ και $p\neq 5$
Όμως, από την (1), οι μοναδικοί πρώτοι αριθμοί που διαιρούν το είναι οι και . Άρα δεν έχουμε λύσεις.

2η περίπτωση: $5^{2x} = 5^{3z} \Leftrightarrow 2x=3z$ . Τότε η αρχική γράφεται:

$3^{4x}\cdot 5^{2x} = 5^y + 2^{4z}\cdot 5^{3z} \Leftrightarrow 3^{6z} - 2^{4z} = 5^{y-2x} \Leftrightarrow 27^{2z} - 4^{2z} = 5^{y-2x}$

Παρατηρούμε ότι $23=27-4|27^{2z}-4^{2z} \Rightarrow 23|5^{y-2x}$ πράγμα άτοπο. Άρα δεν έχουμε λύση.

Τελικά μοναδική λύση του προβλήματος είναι η

Μπράβο Γιάννη, Άριστη η παρέμβαση σου.

#6

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 11:35 am

$2025^x = 5^y + 2000^z \Longleftrightarrow 3^{4x}\cdot 5^{2x}=5^y+2^{4z}\cdot5^{3z}$

Η μεγαλύτερη δύναμη του 5 που διαιρεί το είναι το $5^{2x}$ . Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: $5^{2x}=5^{y}\Leftrightarrow 2x=y$ .
...
2η περίπτωση: $5^{2x} = 5^{3z} \Leftrightarrow 2x=3z$ .

.
Ιωάννη, για ξαναδές τα αυτά.

Για παράδειγμα στην ισότητα $5^2=2\cdot 5+ 3\cdot 5$ δεν ισχύει ούτε η μία ούτε η άλλη από τις περιπτώσεις που ισχυρίζεσαι.

Ιωάννης Μελισσουργός · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 12:57 pm

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 11:35 am

$2025^x = 5^y + 2000^z \Longleftrightarrow 3^{4x}\cdot 5^{2x}=5^y+2^{4z}\cdot5^{3z}$

Η μεγαλύτερη δύναμη του 5 που διαιρεί το είναι το $5^{2x}$ . Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: $5^{2x}=5^{y}\Leftrightarrow 2x=y$ .
...
2η περίπτωση: $5^{2x} = 5^{3z} \Leftrightarrow 2x=3z$ .
.
Ιωάννη, για ξαναδές τα αυτά.

Για παράδειγμα στην ισότητα $5^2=2\cdot 5+ 3\cdot 5$ δεν ισχύει ούτε η μία ούτε η άλλη από τις περιπτώσεις που ισχυρίζεσαι.

Έκανα κάποιες διορθώσεις νομίζω τώρα πρέπει να είναι εντάξει. Σας ευχαριστώ για την επισήμανση!!!

#8

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 1:54 pm

Έκανα κάποιες διορθώσεις νομίζω τώρα πρέπει να είναι εντάξει. Σας ευχαριστώ για την επισήμανση!!!

Γράφω κουρασμένος μετά από δύσκολη μέρα και μπορεί να κάνω λάθος. 'Ομως βλέπω ότι χρησιμοποιείς το Θ. Zsigmondy για το p|45^x-5^x

, αλλά αν θυμάμαι καλά το θεώρημα για p|a^n-b^n

έχει ως υπόθεση ότι τα a,b

πρέπει να είναι πρώτα μεταξύ τους. Tα $a=45, \, b=5$ , βέβαια, δεν το ικανοποιούν αυτό. Όμως πρόχειρα κοιτώντας, ίσως μπορείς να το παρακάμψεις αυτό.

Ιωάννης Μελισσουργός · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 10:59 pm

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2025 1:54 pm

Έκανα κάποιες διορθώσεις νομίζω τώρα πρέπει να είναι εντάξει. Σας ευχαριστώ για την επισήμανση!!!
Γράφω κουρασμένος μετά από δύσκολη μέρα και μπορεί να κάνω λάθος. 'Ομως βλέπω ότι χρησιμοποιείς το Θ. Zsigmondy για το , αλλά αν θυμάμαι καλά το θεώρημα για έχει ως υπόθεση ότι τα πρέπει να είναι πρώτα μεταξύ τους. Tα $a=45, \, b=5$ , βέβαια, δεν το ικανοποιούν αυτό. Όμως πρόχειρα κοιτώντας, ίσως μπορείς να το παρακάμψεις αυτό.

Αχ ναι έχετε απόλυτο δίκιο. Διαγράφω τη λύση μου και θα ανεβάσω καινούρια διορθωμένη.

Ιωάννης Μελισσουργός · #10

Γράφουμε όλους τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έχουμε:

$2025^x = 5^y + 2000^z \Longleftrightarrow 3^{4x}\cdot 5^{2x}=5^y+2^{4z}\cdot5^{3z}$

Η μεγαλύτερη δύναμη του 5 που διαιρεί το LHS

είναι το $5^{2x}$ .

Αν ισχύει $5^y\neq5^{3z}$ τότε έχουμε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις

1η περίπτωση: $5^{2x}=5^{y}\Leftrightarrow 2x=y$ . Τότε η αρχική γράφεται:

$45^{2x} = 5^y + 2000^z \Leftrightarrow (45^x)^2 - (5^x)^2 = 2000^z \Leftrightarrow (45^x-5^x)\cdot(45^x+5^x) = 2^{4z} \cdot 5^{3z}\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 5^x\cdot(9^x-1)\cdot(45^x+5^x)=2^{4z}\cdot5^{3z}$ (1)

Για είναι και από την (1) παίρνουμε: $40 \cdot 50= 2000^z \Leftrightarrow 2000=2000^z \Leftrightarrow z=1$
Επομένως έχουμε τη λύση
Για είναι $25\cdot 80\cdot(2025+25)=2^{4z}\cdot 5^{3z}\Leftrightarrow25\cdot80\cdot2\cdot5^2\cdot41=2^{4z}\cdot5^{3z}$ και άρα δεν παίρνουμε λύσεις διότι $41\nmid2^{4z}\cdot5^{3z}$
Για $x\geq 3$ από το θεώρημα Zsigmondy υπάρχει πρώτος τέτοιος ώστε και $p\nmid9^2-1=80 \Rightarrow p\nmid2$ και $p\nmid 5 \Rightarrow p\neq 2$ και $p\neq 5$
Όμως, από την (1), οι μοναδικοί πρώτοι αριθμοί που μπορούν να διαιρούν το είναι οι και . Άρα δεν έχουμε λύσεις.

2η περίπτωση: $5^{2x} = 5^{3z} \Leftrightarrow 2x=3z$ . Τότε η αρχική γράφεται:

$3^{4x}\cdot 5^{2x} = 5^y + 2^{4z}\cdot 5^{3z} \Leftrightarrow 3^{6z} - 2^{4z} = 5^{y-2x} \Leftrightarrow 27^{2z} - 4^{2z} = 5^{y-2x}$

Παρατηρούμε ότι $23=27-4|27^{2z}-4^{2z} \Rightarrow 23|5^{y-2x}$ πράγμα άτοπο. Άρα δεν έχουμε λύση.

Αν τώρα $5^y=5^{3z}$ τότε έχουμε:

$3^{4x}\cdot 5^{2x} = 5^y\cdot (16^z+1) \Rightarrow 5^{2x}=5^y=5^{3z}$ διότι $16^z+1\equiv2mod5$ και λύνουμε όπως στη δεύτερη περίπτωση, για την οποία δεν υπάρχουν λύσεις.

Τελικά μοναδική λύση του προβλήματος είναι η (x,y,z)=(1,2,1)

Ευχαριστώ τον κύριο Λάμπρου για τις επισημάνσεις και τις διορθώσεις.

#11

διοφαντική για το 2025

διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Re: διοφαντική για το 2025

Μέλη σε σύνδεση