Τέλειο τετράγωνο

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #1

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).

Ορέστης Λιγνός · #2

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται yz-xz=xy

.

Είναι $(x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd$ , με (a,b,c)=1

.

Αντικαθιστούμε και είναι bc-ac=ab

.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το dxyz

είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, dxyz=d^4abc

, αρκεί λοιπόν ο abc

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω (a,b)=d_1

, και $a=kd_1, b=\ell d_1$ , με $(k,\ell)=1$ .

Είναι με αντικατάσταση ξανά $\ell c-kc=k \ell d_1 \Rightarrow k \mid \ell c-kc \Rightarrow k \mid \ell c$ , και αφού $(k,\ell)=1 \Rightarrow k \mid c$ , και όμοια $\ell \mid c$ .

Αφού όμως $(k,\ell)=1 \Rightarrow k \ell \mid c \Rightarrow c=k \ell m$ .

Είναι λοιπόν $\ell ^2mk-k^2 m \ell=k \ell d_1 \Rightarrow d_1= \ell m -km$ .

Έτσι, $a=kd_1=km(\ell-k)$ , $b=\ell d_1= \ell m(\ell-k)$ και $c=k \ell m$ .

Αν m>1

, είναι $m \mid a,b,c$ , άτοπο, αφού (a,b,c)=1

.

Άρα,

, και έτσι $a=k(\ell-k), \, b=\ell(\ell-k), c=k \ell$ .

Τελικά, $\displaystyle abc=[k \ell(\ell-k)]^2=q^2$ , με $q \in \mathbb{Z}$ , άρα το ζητούμενο δείχτηκε.

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται .

Είναι $(x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd$ , με .

Αντικαθιστούμε και είναι .

Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω , και $a=kd_1, b=\ell d_1$ , με $(k,\ell)=1$ .

Είναι με αντικατάσταση ξανά $\ell c-kc=k \ell d_1 \Rightarrow k \mid \ell c-kc \Rightarrow k \mid \ell c$ , και αφού $(k,\ell)=1 \Rightarrow k \mid c$ , και όμοια $\ell \mid c$ .

Αφού όμως $(k,\ell)=1 \Rightarrow k \ell \mid c \Rightarrow c=k \ell m$ .

Είναι λοιπόν $\ell ^2mk-k^2 m \ell=k \ell d_1 \Rightarrow d_1= \ell m -km$ .

Έτσι, $a=kd_1=km(\ell-k)$ , $b=\ell d_1= \ell m(\ell-k)$ και $c=k \ell m$ .

Αν , είναι $m \mid a,b,c$ , άτοπο, αφού .

Άρα, , και έτσι $a=k(\ell-k), \, b=\ell(\ell-k), c=k \ell$ .

Τελικά, $\displaystyle abc=[k \ell(\ell-k)]^2=q^2$ , με $q \in \mathbb{Z}$ , άρα το ζητούμενο δείχτηκε.

Γεια σου Ορέστη ωραία η λύση σου!

#4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται .

Είναι $(x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd$ , με .

Αντικαθιστούμε και είναι .

Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.

Διαφορετικά από εδώ.

Έστω πρώτος

. Γράφουμε r,s,t

για τις μεγαλύτερες δυνάμεις του

οι οποίες διαιρούν τα a,b,c

αντίστοιχα. Αφού (a,b,c) =1

, τουλάχιστον ένα από τα r,s,t

ισούται με

.

Περίπτωση 1: Είναι r=0

. Επειδή

, η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το

ισούται με s+t

. Αν όμως χωρίς βλάβη της γενικότητας s > t

, τότε η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το a(b+c)

είναι

, άτοπο. Άρα s=t

. Οπότε η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το abc

είναι άρτια.

Περίπτωση 2: Είναι $r\neq 0$ . Άρα p|bc

. Χωρίς βλάβη της γενικότητας s > 0

αλλά

. Η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το

ισούται με

και η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το a(b+c)

ισούται με

. Άρα

οπότε πάλι η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το abc

είναι άρτια.

Επειδή για κάθε πρώτο

η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το abc

είναι άρτια, τότε ο abc

είναι τέλειο τετράγωνο.

Αν και απέφυγα να το χρησιμοποιήσω, ο συμβολισμός $\mathrm{ord}_p(n)$ για την μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον

είναι αρκετά χρήσιμος.

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται .

Είναι $(x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd$ , με .

Αντικαθιστούμε και είναι .

Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, , αρκεί λοιπόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.

Ξεκινώντας από αυτό το σημείο παραθέτω και εγώ την δικιά μου λύση για λόγους πλουραλισμού:
Έχουμε $\displaystyle{bc-ac=ab\Leftrightarrow abc=c^2(b-a)}$ Άρα αρκεί να δέιξουμε ότι ο $\displaystyle{b-a}$ είναι τέλειο τετράγωνο.Η σχέση μας μπορεί να μετασχηματιστεί ως $\displaystyle{(b-a)(c-a)=a^2}$ Έστω επίσης, $\displaystyle{(b-a,c-a)>1}$ τότε θα υπάρχει πρώτος $\displaystyle{p}$ ώστε $\displaystyle{p\mid(b-a,c-a)}$ όμως από την σχέση λαμβάνουμε ότι $\displaystyle{p\mid a}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{ p\mid a,b,c}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{p\mid(a,b,c)=1}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{p=1}$ Άτοπο! αφού το 1 δεν είναι πρώτος άρα
$\displaystyle{(b-a,c-a)=1}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{b-a=t^{2} ,t\epsilon \mathbb{Z}}$

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση