Ισοτιμίες

#1

Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{k,m,n}$ , (συμπεριλαμβάνονται και οι μηδενικοί), ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{(13k)^3 = 9^m +4^n +3}$

#2

Αν $n \geqslant 2$ , τότε το δεξί μέλος είναι ισότιμο με $1 + 0 + 3 \equiv 4 \bmod 8$ . Αυτό είναι αδύνατο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττός αν

περιττός και ισότιμο με $0 \bmod 8$ αν

άρτιος.

Άρα n = 0

ή

. Αν

τότε το δεξί μέλος είναι ίσο με

ή

και άρα δεν είναι ίσο με το αριστερό. Άρα $m \geqslant 1$ .

Τότε το δεξί μέλος είναι ισότιμο με $0+1+3 \equiv 4 \bmod 9$ ή με $0 + 4 + 3 \equiv 7 \bmod 9$ . Αυτό όμως είναι άτοπο διότι όλοι οι τέλειοι κύβοι είναι ισότιμοι με $0,\pm 1 \bmod 9$ .

Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση στους φυσικούς.

Ισοτιμίες

Ισοτιμίες

Re: Ισοτιμίες

Μέλη σε σύνδεση