Ακέραια με παραγοντικά

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(a,b,c)}$ θετικών ακεραίων $\displaystyle{a,b,c,}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{a! + b! = 2^{c!}.}$

Edit 10:59μμ. Αβλεψία που έγραφα γρήγορα. Ευχαριστώ τον κύριο Μιχάλη.

#2

Fotis34 έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 9:24 pm
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(a,b,c)}$ θετικών ακεραίων $\displaystyle{a,b,c,}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{a! + b! = 2^{c!}.}$

.
ζεύγη (τριάδες!)

Λόγω συμμετρίας μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε $a\ge b$ .

Δεν μπορεί να είναι $a\ge b\ge 3$ γιατί τότε το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του

ενώ το δεξί δεν είναι. Συνεπώς το

μπορεί να είναι μόνο

ή

.

Εξετάζουμε την περίπτωση b=1

, οπότε η εξίσωση είναι η $a! +1 = 2^{c!}.$ Έχουμε την λύση $\boxed {(1,1,1)}$ αλλά δεν έχουμε λύση με $a\ge 2$ γιατί τότε το αριστερό μέλος είναι "άρτιος συν περιττός ίσον περιττός" αριθμός ενώ το δεξί, άρτιος.

Εξετάζουμε τώρα την περίπτωση b=2

, οπότε η εξίσωση είναι η $a! +2 = 2^{c!}.$ Έχουμε την λύση $\boxed {(2,2,2)}$ και επίσης την $\boxed {(3,2,3)}$ αλλά δεν έχουμε λύση με $a\ge 4$ γιατί τότε το αριστερό μέλος είναι της μορφής 4N+2

ενώ το δεξί είναι πολλαπλάσιο του

.

Φυσικά έχουμε και τις συμμετρικές λύσεις, με εναλλαγή των a,b

.

Ακέραια με παραγοντικά

Ακέραια με παραγοντικά

Re: Ακέραια με παραγοντικά

Μέλη σε σύνδεση