Αριθμοί στις έδρες κύβου

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Αριθμοί στις έδρες κύβου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 01, 2016 12:39 am

Σε κάθε έδρα ενός κύβου γράψαμε έναν θετικό ακέραιο. Στη συνέχεια, σε κάθε κορυφή του κύβου γράψαμε το γινόμενο των αριθμών στις τρεις έδρες στις οποίες ανήκει. Αν το άθροισμα των αριθμών στις κορυφές του κύβου είναι 2015, να βρείτε το άθροισμα των αριθμών στις έδρες του.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Ιωάννης Αλωνιστιωτης
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2016 4:34 am
Τοποθεσία: Κάτω Ελληνικό

Re: Αριθμοί στις έδρες κύβου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιωάννης Αλωνιστιωτης » Σάβ Οκτ 01, 2016 1:33 am

Γεια σας,

αφαιρώ τη λύση μου αρχικά γιατί υπήρχε κάποιο πρόβλημα με τη γραφή latex αλλά και επειδή ο φίλος Διονύσης δημοσίευσε ακριβώς την ίδια λύση με διαφορά δευτερολέπτων :lol: !

Φιλικά,
Ιωάννης
τελευταία επεξεργασία από Ιωάννης Αλωνιστιωτης σε Σάβ Οκτ 01, 2016 1:42 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αριθμοί στις έδρες κύβου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Οκτ 01, 2016 1:34 am

Ονομάζουμε a, b, c, d, e, f τις έδρες του κύβου.

Τότε πρέπει να ισχύει ότι:

ade+abe+bce+cde+adf+abf+bcf+cdf=2015\Leftrightarrow (e+f)(b+d)(a+c)=2015

Όμως τα αθροίσματα e+f,b+d και a+c είναι μεγαλύτερα του 1, καθώς a, b, c, d, e και f θετικοί ακέραιοι.

Η κανονική μορφή του 2015 είναι 5\cdot 13\cdot 31. Άρα προκύπτει ότι (e+f,b+d,a+c)=(5, 13, 31) (αν επιλέγαμε άλλο μεγαλύτερο διαιρέτη π.χ 65, τότε θα είχαμε 2015=65\cdot 31\cdot 1, δηλαδή θα έπρεπε να χρησιμοποιηθεί το 1).

Άρα a+b+c+d+e+f=5+13+31=49

Υ.Γ Φαίνεται ότι η απάντηση έγινε ταυτόχρονα!


Houston, we have a problem!
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Αριθμοί στις έδρες κύβου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 01, 2016 2:28 am

:10sta10:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης