Να βρεθεί ο αριθμός!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να βρείτε τον αριθμό $N=\overline{abcde}$ που είναι κύβος ακεραίου και ισχύουν οι σχέσεις :

$2a+b+c+d+e=e^3 \,\,\, (1)$ και $(a+b)(a+c)=2e^3 \,\,\, (2)$ .

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να βρείτε τον αριθμό $N=\overline{abcde}$ που είναι κύβος ακεραίου και ισχύουν οι σχέσεις :

$2a+b+c+d+e=e^3 \,\,\, (1)$ και $(a+b)(a+c)=2e^3 \,\,\, (2)$ .

Ορέστη, δεν μου φαίνεται σωστή η άσκηση εκτός αν κάνω λάθος τις πράξεις. Πιστεύω πάντως ότι με μικρή διόρθωση στις συνθήκες (βλέπε παρακάτω) γίνεται σωστή. Ας το δούμε.

Η υπόθεση N=M^3

δίνει $10000\le M^3 \le 99999$ , οπότε $22\le M \le 46 \, (*)$ .

Είναι $e^3= 2a+b+c+d+e \le 6\cdot 9=54$ άρα $e\le 3$ . Επίσης $e^3= 2a+b+c+d+e \ge 2$ , άρα e>1

. Τελικά $e\in \{2, \, 3\}$ .

Συνεπώς ο

είναι κάποιος τέλειος κύβος που τελειώνει σε

ή

και άρα το τελευταίο ψηφίο του

είναι

ή

(έλεγχος: $7^3=34{\color {red} 3}$ και $8^3=51{\color {red} 2}$ ενώ τα υπόλοιπα τελευταία ψηφία δίνουν άλλον λήγοντα).

Άρα τα υποψήφια

λόγω της

είναι τα $27, \, 28, \, 37, \, 38$ που δίνουν $27^3=19683, \, 28^3=21952, \, 37^3=50653, \, 38^3=54872$ .

Πρόταση διόρθωσης: Κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν ικανοποιεί τις άλλες δύο συνθήκες. Αν τις τροποποιήσουμε κάπως σε $2a+b+c+d+{\color {red} 2}e=e^3$ και $(a+b)(a+c)=2e^3 {\color {red} +1}$ , τότε έχουμε λύση τον 37^3=50653

.

Να βρεθεί ο αριθμός!

Να βρεθεί ο αριθμός!

Re: Να βρεθεί ο αριθμός!

Μέλη σε σύνδεση