Διοφαντική

JimNt. · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες (p,q,n)

με

θετικό ακέραιο και p,q

πρώτους για τους οποίους ισχύει: p^3+n^3=q^2

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έχουμε πως:

(p+n)(p^2+n^2-pn)=q^2

Όμως ο

είναι πρώτος, άρα διακρίνουμε

περιπτώσεις:

1) p+n=p^2+n^2-pn=q

Έχουμε:

$p+n=p^2+n^2-pn\Leftrightarrow p^2+n^2+(p-n)^2=2p+2n$ $\Leftrightarrow p(p-2)+n(n-2)+(p-n)^2=0$

Όμως αν $n \geq 2$ και $p\geq 3$ , τότε p(p-2)+n(n-2)+(p-n)^2>0

Συνεπώς

και

, όπου προκύπτει ότι p+n=p^2+n^2-pn=3

που είναι πρώτος

Μια τριάδα λοιπόν είναι η (p, q, n)=(2, 3, 1)

2)

Έχουμε:

$p^2+n^2-pn=1\Leftrightarrow (p-n)^2= 1-pn$

Όμως $pn\geq 2$ , άρα $1-pn\leq -1$ , ενώ αντίθετα $(p-n)^2\geq 0$
Συμπεραίνουμε λοιπόν πως αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.

Μοναδική λύση λοιπόν είναι η (p, q, n)=(2, 3, 1)

harrisp · #3

Διαφορετικά επεται άμεσα με το θεωρημα Zsigmondy. Η ειδική περίπτωση ειναι και η μοναδική λυση.

JimNt. · #4

(Μόνο που στην λύση του Διονύση δεν υφίσταται δεύτερη περίπτωση αφού $p^2+n^2-pn\ge pn\ge 2>1$ )

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση