Απλή με Πρώτους!

JimNt. · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων (p,q)

που ικανοποιούν την p^2-pq-q^3=1

. Για μαθητές.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έχουμε:

Εύκολα προκύπτει ότι p>q

και αφού η περίπτωση για q=2

απορρίπτεται, έπεται ότι $p\geq q+2$ .

Ακόμα έχουμε πως:

$q^3+1+pq=p^2\Rightarrow p|q^3+1\Rightarrow p|(q+1)(q^2-q+1)$ . Άρα p|q+1

ή

. Όμως

, άρα έχουμε πως p|q^2-q+1

(1).

Άρα έχουμε πως $q^2-q+1=kp\Leftrightarrow k=\dfrac{q^2-q+1}{p}\leq \dfrac{q^2-q+1}{q+2}\leq$ $\dfrac{q^2-4}{q+2}=q-2\Rightarrow k+3\leq q+1$ (2).

Ακόμη έχουμε πως $q+1|p^2-pq\Rightarrow q+1|p^2-pq+p(q+1)=p(p+1)\Rightarrow q+1|p+1$ (3), καθώς (p, q+1)=1

(αφού

πρώτος και q+1<p

ή

.

Εύκολα λοιπόν απορρίπτουμε την περίπτωση q=5

(βλέποντας πως η εξίσωση p^2-5p-126=0

δεν έχει λύση στο σύνολο που μας ενδιαφέρει), ενώ στην περίπτωση που q=3

, η εξίσωση p^2-3p-28=0

έχει μοναδική λύση p=7

(στους θετικούς) που εγκρίνεται.

Μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης λοιπόν η (p, q)=(7, 3)

Ορέστης Λιγνός · #3

JimNt. έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων που ικανοποιούν την . Για μαθητές.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα p(p-q)=(q+1)(q^2-q+1)

(1).

Είναι προφανές ότι p>q

.

Πρέπει $p \mid (q+1)(q^2-q+1)$ , και αφού

πρώτος, $p \mid q+1$ ή $p \mid q^2-q+1$ .

Η πρώτη εκδοχή απορρίπτεται, διότι πρέπει $q<p \leqslant q+1$ , άρα p=q+1

, οπότε

, που δεν επαληθεύει.

Άρα, $p \mid q^2-q+1$ , έστω q^2-q+1=kp

, με

.

Αντικαθιστούμε στην (1) και παίρνουμε p-q=k(q+1)

.

Έχουμε λοιπόν το σύστημα εξισώσεων $\begin{cases} q^2-q+1=kp, \, (2) \\ p-q=k(q+1), \, (3) \end{cases}$ .

Από την (3), p=kq+q+k

.

Με αντικατάσταση στην (2) έχουμε την δευτεροβάθμια (ως προς

),

.

Η διακρίνουσα είναι ίση με $\Delta=-3k^4+2k^3+11k^2+2k-3 \geqslant 0$ , οπότε $2k^3+11k^2+2k \geqslant 3k^4+3$ , που ισχύει για k=1, k=2

.

Αν

, $q^2-q+1=p, \, p-q=q+1$ , με λύση p=7,q=3

.

Αν

, $q^2-q+1=2p, \, p-q=2q+2$ , που δεν έχει λύση.

Άρα, $\boxed{p=7,q=3}$ .

Με πρόλαβε ο Διονύσης ...

JimNt. · #4

Πολύ ωραία.

Απλή με Πρώτους!

Απλή με Πρώτους!

Re: Απλή με Πρώτους!

Re: Απλή με Πρώτους!

Re: Απλή με Πρώτους!

Μέλη σε σύνδεση