Όμορφο Τετράγωνο!

JimNt. · #1

Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους

για τους οποίος ο $A= \dfrac{5^{p+1}-1}{p}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για μαθητές.

min## · #2

διαγραφη

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

min## έγραψε:Από το $5^{p-1}-1$ θα έχει τουλάχιστον ένα καινούριο πρώτο διαιρέτη σε σχέση με το $5^{a}-1 ,a<p-1$ έστω .Θα ισχύει ότι $q^{2}/5^{p-1}-1$ και δεν διαιρεί $5^{a}-1,a<p-1$ .

Μπορεί να χάνω κάτι, αλλά πως ξέρεις ότι το

δεν θα ταυτίζεται με το

. Με άλλα λόγια, μπορεί το

να μην διαιρεί το $5^{a}-1,a<p-1$ . Σε αυτή όμως την περίπτωση δεν θα ξέρουμε πως $p^2|5^{p-1}-1$ ...

min## · #4

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
min## έγραψε:Από το $5^{p-1}-1$ θα έχει τουλάχιστον ένα καινούριο πρώτο διαιρέτη σε σχέση με το $5^{a}-1 ,a<p-1$ έστω .Θα ισχύει ότι $q^{2}/5^{p-1}-1$ και δεν διαιρεί $5^{a}-1,a<p-1$ .

Μπορεί να χάνω κάτι, αλλά πως ξέρεις ότι το δεν θα ταυτίζεται με το . Με άλλα λόγια, μπορεί το να μην διαιρεί το $5^{a}-1,a<p-1$ . Σε αυτή όμως την περίπτωση δεν θα ξέρουμε πως $p^2|5^{p-1}-1$ ...

Yeah.Έχεις δίκιο..δεν βλέπω πως μπαλώνεται οπότε τη διαγράφω.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

JimNt. έγραψε:Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους για τους οποίος ο $A= \dfrac{5^{p-1}-1}{p}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για μαθητές.

Επαναφορά!

Θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε την λύση...

JimNt. · #6

Τελικά η άσκηση που ήθελα να postάρω στους Juniors και μάλλον αρμόζει καλύτερα ήταν η $\dfrac{5^{p+1}-1}{p}$

. Ζητώ συγνώμη αν σας κούρασε... (βέβαια αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχει τρόπο λύσης...). Το αλλάζω.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

JimNt. έγραψε:Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους για τους οποίος ο $A= \dfrac{5^{p+1}-1}{p}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για μαθητές.

Από το

έχουμε πως $5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ (1)

Ακόμη έχουμε πως $5^{p+1}\equiv 1 \pmod{p}$ (2)

Από γνωστό λήμμα συνδυάζοντας τις (1) και (2) έχουμε ότι:

$5^{(p+1, p-1)} \equiv 1 \pmod{p}\Leftrightarrow 5^2 \equiv 1 \pmod{p}$ , άρα το

είναι

ή

. Και οι δύο περιπτώσεις απορρίπτονται.

Όμορφο Τετράγωνο!

Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Re: Όμορφο Τετράγωνο!

Μέλη σε σύνδεση