Απόδειξη

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Αν $a\in\mathbb{Z}$ , να αποδείξετε ότι $3/(a^{3}+2a)$

Christos.N · #2

Διακρίνουμε περιπτώσεις

$\displaystyle{\begin{array}{l} a = 0\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 0\bmod 3\\ 2a = 0\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 0\bmod 3\\ a = 1\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 1\bmod 3\\ 2a = 2\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 3\bmod 3 = 0\bmod 3\\ a = 2\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 8\bmod 3 = 2\bmod 3\\ 2a = 16\bmod 3 = 1\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 3\bmod 3 = 0\bmod 3 \end{array}}$

και τελειώσαμε.

Λιγότερα συμβολικά αν θεωρήσουμε

$\displaystyle{\alpha = \left\{ \begin{array}{l} 3\kappa \\ 3\kappa + 1\\ 3\kappa + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \end{array} \right.,\kappa \in {\rm Z}}$

και εργαστούμε ανάλογα.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Christos.N έγραψε:Διακρίνουμε περιπτώσεις

$\displaystyle{\begin{array}{l} a = 0\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 0\bmod 3\\ 2a = 0\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 0\bmod 3\\ a = 1\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 1\bmod 3\\ 2a = 2\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 3\bmod 3 = 0\bmod 3\\ a = 2\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 8\bmod 3 = 2\bmod 3\\ 2a = 16\bmod 3 = 1\bmod 3 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + 2a = 3\bmod 3 = 0\bmod 3 \end{array}}$

και τελειώσαμε.

Λιγότερα συμβολικά αν θεωρήσουμε

$\displaystyle{\alpha = \left\{ \begin{array}{l} 3\kappa \\ 3\kappa + 1\\ 3\kappa + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \end{array} \right.,\kappa \in {\rm Z}}$

και εργαστούμε ανάλογα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Αν $a\in\mathbb{Z}$ , να αποδείξετε ότι $3/(a^{3}+2a)$

Δεν νομίζω ότι είναι στον κατάλληλο φάκελο.
Θα δώσω μια λύση χωρίς mod.

Είναι $a^{3}-a=a(a^{2}-1)=a(a-1)(a+1)=(a-1)a(a+1)$

Αφου έχουμε γινόμενο τριών διαδοχικών θα διαιρείται με το

.

Αρα $a^{3}-a=3k$ όπου $k\in \mathbb{Z}$

Ετσι είναι $a^{3}+2a=a^{3}-a+3a=3k+3a=3(k+a)$

που άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Αν $a\in\mathbb{Z}$ , να αποδείξετε ότι $3/(a^{3}+2a)$
Δεν νομίζω ότι είναι στον κατάλληλο φάκελο.
Θα δώσω μια λύση χωρίς mod.

Είναι $a^{3}-a=a(a^{2}-1)=a(a-1)(a+1)=(a-1)a(a+1)$

Αφου έχουμε γινόμενο τριών διαδοχικών θα διαιρείται με το .

Αρα $a^{3}-a=3k$ όπου $k\in \mathbb{Z}$

Ετσι είναι $a^{3}+2a=a^{3}-a+3a=3k+3a=3(k+a)$

που άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.

Κύριε Σταύρο, καλημέρα!

Εγώ δεν το έλυσα με mod. Το έκανα με τον δικό σας απλό τρόπο. Απλά επειδή υπάρχει αυτή η λύση με θεωρία αριθμών, προτίμησα να τη βάλω εδώ

και ο κύριος Χρήστος να απαντήσει με mod!

Φιλικά και μαθηματικά,

Νικόλας

Απόδειξη

Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση