Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 544
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 765
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Έστω
μια δύναμη του
που όταν αφαιρέσεις το πρώτο ψηφίο μένει η δύναμη
. Προφανώς θα είναι
, επομένως
.
Παράλληλα έστω
το πλήθος των ψηφίων του
. Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του
θα είναι
.
Άρα αν
έχουμε πως
, άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του
θα ήταν τουλάχιστον
.
Επομένως
.
Ακόμη έχουμε πως
. Αν όμως
, τότε πρέπει
, άτοπο καθώς
και έχουμε πως
.
Άρα
και επομένως
.
Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το
και το
.





Παράλληλα έστω




Άρα αν




Επομένως

Ακόμη έχουμε πως





Άρα


Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το


Houston, we have a problem!
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 544
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Μιὰ ἄλλη λύση:
Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω
καὶ
,
, ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα
, καὶ συνεπῶς
Ἄρα ὁ
εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ
θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι
ἢ
.
Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω









Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης