Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

Γ.-Σ. Σμυρλής

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.

Διονύσιος Αδαμόπουλος

Έστω

μια δύναμη του

που όταν αφαιρέσεις το πρώτο ψηφίο μένει η δύναμη 2^b

. Προφανώς θα είναι a>b

, επομένως a=b+m

.

Παράλληλα έστω

το πλήθος των ψηφίων του 2^b

. Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του $2^{b+m}$ θα είναι x+1

.

Άρα αν $m\geq 7$ έχουμε πως $2^{b+m}\geq 128\cdot 2^b>100\cdot 2^b$ , άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του $2^{b+m}$ θα ήταν τουλάχιστον x+2

.

Επομένως $1\leq m\leq 6$ .

Ακόμη έχουμε πως $10^x|2^{b+m}-2^b\Rightarrow 5^x|2^m-1$ . Αν όμως x>1

, τότε πρέπει 25|2^m-1

, άτοπο καθώς $1\leq m\leq 6$ και έχουμε πως $25|2^{20k}-1$ .

Άρα x=1

και επομένως $a\leq 6$ .

Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το

και το

.

Γ.-Σ. Σμυρλής

Μιὰ ἄλλη λύση:

Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω 2^a

καὶ

,

, ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα b=a+4

, καὶ συνεπῶς $2^b-2^a=15\cdot 2^a.$ Ἄρα ὁ 2^a

εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ 2^b-2^a.

θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι 2^a=2

ἢ

.