Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 544
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Ιούλ 04, 2017 8:22 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 740
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Ιούλ 06, 2017 9:16 pm

Έστω 2^a μια δύναμη του 2 που όταν αφαιρέσεις το πρώτο ψηφίο μένει η δύναμη 2^b. Προφανώς θα είναι a>b, επομένως a=b+m.

Παράλληλα έστω x το πλήθος των ψηφίων του 2^b. Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του 2^{b+m} θα είναι x+1.

Άρα αν m\geq 7 έχουμε πως 2^{b+m}\geq 128\cdot 2^b>100\cdot 2^b, άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του 2^{b+m} θα ήταν τουλάχιστον x+2.

Επομένως 1\leq m\leq 6.

Ακόμη έχουμε πως 10^x|2^{b+m}-2^b\Rightarrow 5^x|2^m-1. Αν όμως x>1, τότε πρέπει 25|2^m-1, άτοπο καθώς 1\leq m\leq 6 και έχουμε πως 25|2^{20k}-1.

Άρα x=1 και επομένως a\leq 6.

Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το 32 και το 64.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 544
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Παρ Ιούλ 07, 2017 1:33 pm

Μιὰ ἄλλη λύση:

Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω 2^a καὶ 2^b, a<b, ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα b=a+4, καὶ συνεπῶς 2^b-2^a=15\cdot 2^a. Ἄρα ὁ 2^a εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ 2^b-2^a. θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι 2^a=24.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης