Πρώτα ο Πρώτος !

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Πρώτα ο Πρώτος !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 25, 2017 2:22 pm

Αν x πρώτος , να λύσετε την Διοφαντική εξίσωση :

x-y^{4}=4 .
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Δευ Σεπ 25, 2017 3:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 25, 2017 2:50 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 2:22 pm
Αν x πρώτος , να λύσετε την εξίσωση :

x-y^{4}=4 .
Νικόλα γράψε πιο προσεκτικά την εκφώνηση.
Γιατί εγώ μπορεί να σου δώσω την λύση.
x πρώτος με x\geq 5
και y=+_{-}\sqrt[4]{x-4}
To ξέρω ότι άλλο έχεις στο μυαλό σου αλλά έτσι όπως την έγραψες και το
πιο πάνω είναι λύση.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 25, 2017 2:52 pm

Την πήρα από ένα βιβλίο . Θα το ξανακοιτάξω !
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Δευ Σεπ 25, 2017 3:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 25, 2017 2:57 pm

Είναι στα Αγγλικά . Λέει :

Solve the Diofantine equation x-y^{4}=4 where x is a prime .

Την έχω φτάσει στη μέση και έχω κολλήσει ! Είναι με modulo η λύση του νομίζω !


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 25, 2017 3:02 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 2:57 pm
Είναι στα Αγγλικά . Λέει :

Solve the Diofantine equation x-y^{4}=4 where x is a prime .
Εγώ σε συγχωρώ. Να ξέρεις ότι όταν λέμε Διοφαντική εξίσωση εννοούμε λύσεις στο
\mathbb{Z}
Οπότε διόρθωσε την αρχική ανάρτηση για να μην γράφονται λύσεις σαν την δική μου.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 25, 2017 3:03 pm

:coolspeak:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15764
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 25, 2017 5:12 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 2:22 pm
Αν x πρώτος , να λύσετε την Διοφαντική εξίσωση :

x-y^{4}=4 .
Καλό είναι όταν δεν έχουμε λύση σε ένα πρόβλημα να το δηλώνουμε ρητά (το λέει και ο κανονισμός μας, για να μην παιδεύονται χωρίς λόγο οι άλλοι).

Στο θέμα μας: Η Διοφαντική γράφεται x = y^4+4=(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)

Επειδή x πρώτος έπεται ότι θα ισχύει κάποια από τις y^2-2y+2 = \pm 1 ή y^2+2y+2 =\pm 1. Με άλλα λόγια έχουμε, αντίστοιχα, (y-1)^2=0 ή (y-1)^2+2=0 ή (y+1)^2=0 ή (y+1)^2+2=0. Τώρα τα επόμενα βήματα είναι άμεσα.

Π.χ. η πρώτη δίνει y=1 με ανίστοιχο x (από την αρχική) το x=5 (δεκτό). H δεύτερη είναι αδύνατη, και λοιπά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Πρώτα ο Πρώτος !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Σεπ 26, 2017 8:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 5:12 pm
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 2:22 pm
Αν x πρώτος , να λύσετε την Διοφαντική εξίσωση :

x-y^{4}=4 .
Καλό είναι όταν δεν έχουμε λύση σε ένα πρόβλημα να το δηλώνουμε ρητά (το λέει και ο κανονισμός μας, για να μην παιδεύονται χωρίς λόγο οι άλλοι).

Στο θέμα μας: Η Διοφαντική γράφεται x = y^4+4=(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)

Επειδή x πρώτος έπεται ότι θα ισχύει κάποια από τις y^2-2y+2 = \pm 1 ή y^2+2y+2 =\pm 1. Με άλλα λόγια έχουμε, αντίστοιχα, (y-1)^2=0 ή (y-1)^2+2=0 ή (y+1)^2=0 ή (y+1)^2+2=0. Τώρα τα επόμενα βήματα είναι άμεσα.

Π.χ. η πρώτη δίνει y=1 με ανίστοιχο x (από την αρχική) το x=5 (δεκτό). H δεύτερη είναι αδύνατη, και λοιπά.
Ευχαριστώ για τη λύση κύριε Λάμπρου !

Ξέχασα να γράψω ότι δεν είχα λύση ! Θα το έχω υπ ' όψη μου !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες