Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Εστω φυσικός της μορφής
Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών
τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον .
Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών
τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον .
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Γεια σου Σταύρο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 01, 2017 4:04 pmΕστω φυσικός της μορφής
Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών
τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον .
Έστω .
Παρατηρούμε ότι , οπότε .
Έστω ότι εκ των είναι , και οι υπόλοιποι είναι .
Έτσι, , και αφού προφανώς , .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Καλησπέρα Ορέστη.
Την έκανες μια χαψιά.
Την πήρα από το βιβλίο
Matters Mathematical
I.N.Herstein
I.Kaplansky
Την έκανες μια χαψιά.
Την πήρα από το βιβλίο
Matters Mathematical
I.N.Herstein
I.Kaplansky
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Ας βάλω και ένα σχετικό ερώτημα.
Ισχύει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών αριθμών. (Εξαιρετικά δύσκολο θεώρημα)
Βρείτε έναν φυσικό αριθμό που όντως χρειάζεται τέταρτες δυνάμεις.
Ισχύει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών αριθμών. (Εξαιρετικά δύσκολο θεώρημα)
Βρείτε έναν φυσικό αριθμό που όντως χρειάζεται τέταρτες δυνάμεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Είναι οπότε με άσσους.
Προφανώς το είναι ο ζητούμενος αριθμός.
Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση.
Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύο προηγούμενα ερωτήματα είναι ουσιαστικά για την απόδειξη.
Προφανώς το είναι ο ζητούμενος αριθμός.
Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση.
Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύο προηγούμενα ερωτήματα είναι ουσιαστικά για την απόδειξη.
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Καλησπέρα σε όλους!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Οκτ 03, 2017 12:23 pmΕίναι οπότε με άσσους.
Προφανώς το είναι ο ζητούμενος αριθμός.
Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση.
Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύο προηγούμενα ερωτήματα είναι ουσιαστικά για την απόδειξη.
Είναι γνωστό ότι για κάθε θετικό ακέραιο με ακεραίους.
Επίσης είναι
Αρα όμως κάθε ένα από τα γράφεται ως άθροισμα 12 τετάρτων δυνάμεων άρα κάθε πολ. 6 γράφεται ως άθροισμα 48 τετάρτων δυνάμεων.
προσθέτουμε 5 φορές το
προσθέτουμε 4 φορές το και 1 το
…
προσθέτουμε 5 φορές το
Συμπερασματικά, κάθε φυσικός γράφεται σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Edit: Δείτε την επισήμανση του κ. Λάμπρου πιο κάτω.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Τρί Οκτ 03, 2017 7:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Για όσους δεν γνωρίζουν (πάντως δεν είναι εύκολο) βλέπεΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Τρί Οκτ 03, 2017 6:05 pm
Εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε θετικό ακέραιο με ακεραίους.
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange% ... re_theorem
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Ιδία με την λύση του Χάρη είναι και η λύση στο πιο πάνω βιβλίο.
Παραθέτει προς απόδειξη την ταυτότητα που χρησιμοποίησε.
Για την παράσταση φυσικού σε δυνάμεις μπορείτε να δείτε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem
Παραθέτει προς απόδειξη την ταυτότητα που χρησιμοποίησε.
Για την παράσταση φυσικού σε δυνάμεις μπορείτε να δείτε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες