εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους x,y η εξίσωση \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq} όπου p,q πρώτοι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 737
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους x,y η εξίσωση \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq} όπου p,q πρώτοι.
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow xy = pqx+pqy \Leftrightarrow

xy-pqx -pqy + p^{2}q^{2} = p^{2}q^{2} \Leftrightarrow (x-pq)(y-pq) = p^{2}q^{2}

Εφόσον p,q πρώτοι αριθμοί διακρίνουμε τις παρακάτω δυνατές περιπτώσεις για τους παράγοντες του πρώτου μέλους της τελευταίας εξίσωσης

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = 1 
\\  
y-pq = p^{2}q^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = pq +1 
\\  
y = pq(pq+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = p 
\\  
y-pq = pq^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = p(q +1) 
\\  
y = pq(q+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = q 
\\  
y-pq = p^{2}q 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = q(p +1) 
\\  
y = pq(p+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = p^{2} 
\\  
y-pq = q^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = p(q +1) 
\\  
y = q(p+1)} 
\end{matrix}\right.

Καθώς και τα ζεύγη που προκύπτουν αν αναδιατάξουμε τα x,y.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης