εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

panagiotis iliopoulos · #1

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους x,y

η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}$ όπου p,q

πρώτοι.

Al.Koutsouridis · #2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}$ όπου πρώτοι.

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

$\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow xy = pqx+pqy \Leftrightarrow$

$xy-pqx -pqy + p^{2}q^{2} = p^{2}q^{2} \Leftrightarrow (x-pq)(y-pq) = p^{2}q^{2}$

Εφόσον p,q

πρώτοι αριθμοί διακρίνουμε τις παρακάτω δυνατές περιπτώσεις για τους παράγοντες του πρώτου μέλους της τελευταίας εξίσωσης

$\left\{\begin{matrix} x-pq = 1 \\ y-pq = p^{2}q^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = pq +1 \\ y = pq(pq+1)} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-pq = p \\ y-pq = pq^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = p(q +1) \\ y = pq(q+1)} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-pq = q \\ y-pq = p^{2}q \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = q(p +1) \\ y = pq(p+1)} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-pq = p^{2} \\ y-pq = q^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = p(p +q) \\ y = q(p+q)} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-pq = pq \\ y-pq = qq \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2pq \\ y = 2pq} \end{matrix}\right.$

Καθώς και τα ζεύγη που προκύπτουν αν αναδιατάξουμε τα x,y

.

Edit: 7/7/2020 Έγιναν διορθώσεις στην λύση σύμφωνα με τις παρακάτω δημοσιεύσεις.

George Tsoutsinos · #3

Η λυση αυτη ειναι εμφανως λανθασμενη διοτι δεν περιλαμβανει την προφανεστατη λυση x=2pq , y=2pq

George Tsoutsinos · #4

H

ειναι λαθος . Καλο θα ηταν να κατεβει τελειως η λυση!

#5

George Tsoutsinos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 05, 2020 3:50 am
Η λυση αυτη ειναι εμφανως λανθασμενη διοτι δεν περιλαμβανει την προφανεστατη λυση χ=2pq , y=2pq

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Επίσης, παρακαλώ να βάζεις τόνους στις λέξεις
όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά αλλά και οι κανονισμοί μας.

Επί της ουσίας:

Η λύση που γράφεις, x=2pq =y

, πράγματι λείπει αλλά πρόκειται για μικρή λογιστική αβλεψία. Συγκεκριμένα, οι παραπάνω περιπτώσεις καταλήγουν
στις εξισώσεις x-pq=

"κάτι" και y-pq=

"κάτι αντίστοιχο", όπου τα "κάτι" είναι τα ζεύγη παραγόντων του p^2q^2

. Εδώ το ζεύγος $pq, \, pq$ δίνει $x-pq=pq, \, y-pq =pq$ από όπου οι λύσεις που επισημαίνεις ότι λείπουν. Ξεχάστηκαν ανάμεσα στις πολλές (εννιά τον αριθμό) που λύνουν την εξίσωση.

George Tsoutsinos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 05, 2020 4:02 am
H x=p(q+1) y=q(p+1) ειναι λαθος . Καλο θα ηταν να κατεβει τελειως η λυση!

Έχεις δίκιο ότι η απάντηση είναι λάθος αλλά καλό είναι να μην υπερβάλουμε. Απλά πρόκειται για προφανές τυπογραφικό σφάλμα. Συγκεκριμένα, θα παρατηρήσεις ότι στο βήμα

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm

$\left\{\begin{matrix} x-pq = p^{2} \\ y-pq = q^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = p(q +1) \\ y = q(p+1)} \end{matrix}\right.$

.
το δεξί μέλος πρέπει να διορθωθεί τυπογραφικά από x = p(q +1)

σε

και όμοια το

. Αυτές είναι οι σωστές λύσεις αντί αυτών που επισημαίνεις.

Η ουσία της λύσης είναι σωστή. Σίγουρα δεν πρέπει "να κατέβει τελείως".

George Tsoutsinos · #6

Λειπει επισης η λυση x=p(p+q) y=q(p+q)

. Η λυση πρεπει να καατεβει! γιατι η μεθοδος οδηγει σε απωλεια λυσεων. Εγω Latex δεν ξερω. Ξερω ομως Μαθηματικα! Δωστα μου ενα email να σας στειλω μια πληρη λυση.

#7

George Tsoutsinos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 3:07 pm
Λειπει επισης η λυση x=p(p+q) y=q(p+q) Η λυση πρεπει να καατεβει! γιατι η μεθοδος οδηγει σε απωλεια λυσεων. Εγω Latex δεν ξερω. Ξερω ομως Μαθηματικα! Δωστα μου ενα email να σας στειλω μια πληρη λυση.

.
Δεν λείπει! Αντιγράφω από τα παραπάνω για να την δεις ιδίοις όμμασι!
.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm

$\left\{\begin{matrix} x-pq = p^{2} \\ y-pq = q^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = p(p +q) \\ y = q(p+q)} \end{matrix}\right.$

.

George Tsoutsinos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 3:07 pm
... . Εγω Latex δεν ξερω.

.
Οι κανονισμοί μας λένε ρητά ότι η εκμάθηση της latex είναι προϋπόθεση για να γράφει κανείς στο φόρουμ. Καλό είναι να σεβόμαστε τον χώρο που μας φιλοξενεί και όχι να τον γράφουμε στα παλιά μας τα παπούτσια.

Άντε, ας καταλάβω ότι δεν μπορείς ή δεν θέλεις να μάθεις latex. Όμως βιάζεις εκ νέου τα σωστά Ελληνικά, γράφοντας χωρίς τονισμό των λέξεων. Ξαναδιάβασε τι σου έγραψα:
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 05, 2020 8:48 am

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Επίσης, παρακαλώ να βάζεις τόνους στις λέξεις
όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά αλλά και οι κανονισμοί μας.

.

George Tsoutsinos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 3:07 pm
Ξερω ομως Μαθηματικα! Δωστα μου ενα email να σας στειλω μια πληρη λυση.

.
Αυτό άσε να το κρίνουν οι άλλοι. Η άσκηση είναι αρκετά απλή, και δεν χρειάζεται να ξέρει κανείς πολλά Μαθηματικά. Απευθύνεται άλλωστε σε μαθητές Γυμνασίου που, για έμπειρο μαθηματικό, οι απαιτήσεις της είναι σχεδόν τετριμμένες.

Ξαναδές (προσεκτικά αυτή την φορά) την παραπάνω λύση (στην οποία έγινε διόρθωση της προφανούς τυπογραφικής αβλεψίας) και πες μας (σε latex και σωστά ελληνικά) αν έχεις κάτι καινούργιο. Δεν νομίζω οτι υπάρχει! Αντιθέτως, νομίζω ότι κομίζεις γλαύκαν εις Αθήνας.

Όπως και να είναι, θα χαρούμε να δούμε τα Μαθηματικά σου στο φόρουμ. Μέχρι τώρα έχεις τρία ποστ όλα και όλα, σε απλούστατο θέμα, και δεν είδαμε ακόμα τίποτα ουσιαστικό. Είματε οι πρώτοι που θα χειροκροτήσουμε τα ουσιαστικά Μαθηματικά.

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση