ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Σάβ Μαρ 10, 2018 8:33 pm

Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι

lcm(a,b,c)=\frac{abc*gcd(a,b,c)}{gcd(a,b)*gcd(a,c)*gcd(b,c)}

Έστω (a,b,c)=d και a=xd , b=yd και c=zd με (x,y,z)=1 \Rightarrow lcm(a,b,c)=xyzd .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε xyzd=\frac{xyzd^{3}d}{d^{3}}\Leftrightarrow xyzd=xyzd \to \Leftrightarrow 1=1 (που ισχύει, άρα ισχύει το ζητούμενο).



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 23, 2018 5:27 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Σάβ Μαρ 10, 2018 8:33 pm
Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι

lcm(a,b,c)=\frac{abc*gcd(a,b,c)}{gcd(a,b)*gcd(a,c)*gcd(b,c)}

Έστω (a,b,c)=d και a=xd , b=yd και c=zd με (x,y,z)=1 \Rightarrow lcm(a,b,c)=xyzd .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε xyzd=\frac{xyzd^{3}d}{d^{3}}\Leftrightarrow xyzd=xyzd \to \Leftrightarrow 1=1 (που ισχύει, άρα ισχύει το ζητούμενο).
Παναγιώτη, για ξαναδές το αυτό.

Για παράδειγμα στον παρονομαστή d^3 έχεις πάρει  gcd(a,b) =gcd(a,c) = gcd(b,c) =d.

Όμως για a=6, b=10, c=15 έχουμε d= gcd(a,b,c) = gcd (6,10,15)=1 αλλά δεν ισχύει gcd(a,b) = d αφού gcd(6,10) = 2\ne 1.

Ας προσθέσω ότι ούτε ο ισχυρισμός  lcm(a,b,c)=xyzd είναι σωστός.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 25, 2018 11:29 am

Ας δούμε μια απόδειξη.

Θα δείξω ότι

\displaystyle  [a,b,c](a,b)(b,c)(c,a) = abc(a,b,c)

όπου με παρενθέσεις συμβολίζω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και με αγκύλες το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Αρκεί για κάθε πρώτο p να δείξω ότι η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το αριστερό μέλος, ισούται με την μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί και το δεξί μέλος.

Ας υποθέσουμε ότι οι μέγιστες δυνάμεις του p που διαιρούν τα a,b,c είναι r,s,t αντίστοιχα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι r \geqslant s \geqslant t. Τότε:

Η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το [a,b,c] ισούται με r.
Η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το (a,b) ισούται με s.
Η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το (b,c) ισούται με t.
Η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το (a,c) ισούται με t.
Η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το (a,b,c) ισούται με t.

Άρα η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το αριστερό μέλος ισούται με r+s+t+t = r+s+2t και
η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το δεξί μέλος ισούται με r+s+t+t = r+s+2t.

Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης