Άσκηση με πρώτους αριθμούς

panagiotis iliopoulos · #1

Να βρεθούν τα ζεύγη (p,q)

πρώτων αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι $p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$ .

Tolaso J Kos · #2

Φίλε μου , σίγουρα κάνει για Γ Γυμνασίου αυτή η άσκηση ; Πιο πολύ μου κάνει για άσκηση στο σπίτι από τη σχολή !

Φιλικά !!

Τσιαλας Νικολαος · #3

ο παναγιώτης είναι μαθητής της γ΄γυμνασίου αλλά αρκετά προχωρημένος σε όλα τα επιπέδα. Μάλλον θα ήθελε να την βάλει στο γυμνάσιο για προχωρημένους

Tolaso J Kos · #4

Α, συγνώμη δε το ήξερα !!

#5

Tο μετέφερα στον προχωρημένο επίπεδο Θεωρίας Αριθμών για Junior.

Παναγιώτη, σε παρακαλώ πρόσεξε λίγο σε ποιους φακέλους βάζεις τις ασκήσεις. Αν είναι για διαγωνισμούς junior να επιλέγεις κάποιον από αυτούς τους φακέλους.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 4:54 am
Να βρεθούν τα ζεύγη πρώτων αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι $p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$ .

Καταρχάς έχουμε πως p^3=q^5+(p+q)^2

, δηλαδή

δεν διαιρεί το q+1

. Πράγματι αν το διαιρούσε λόγω του ότι p>q

θα έπρεπε

, που ισχύει μόνο για το ζευγάρι (3, 2)

, το οποίο όμως δεν επαληθεύει την αρχική.

Έχουμε ακόμα πως q^5=p^3-(p+q)^2

, δηλαδή $q|p^3-p^2\Leftrightarrow q|p^2(p-1)\Leftrightarrow q|p-1$ .

Έστω λοιπόν p-1=kq

, με

θετικός ακέραιος.

Στην (1) λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι:

$p|k^2(q^2-q+1)\Leftrightarrow p|(p-1)^2-k(p-1)+k^2\Leftrightarrow p|k^2+k+1$ (2)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε ότι:

$p|(k^2+k+1)(q^2-q+1)\Leftrightarrow p|(p-1)^2-k(p-1)+k^2+q(p-1)-(p-1)+k+q^2-q+1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p|1+k+k^2-q+1+k+q^2-q+1\Leftrightarrow p|(k^2+k+1)+(q^2-q+1)+k-q+1$ , άρα p|k-q+1

.

Έστω πως $k-q+1\geq 0$ .

Λόγω του ότι k-q+1<kq+1=p

, έχουμε αναγκαστικά πως $k-q+1=0\Leftrightarrow k=q-1$ , δηλαδή p=q^2-q+1

.

Άρα πρέπει:

(q^2-q+1)^3=q^5+(q^2+1)^2

όπου βρίσκουμε την θετική ακέραια λύση q=3

, από όπου p=7

.

Έστω πως k-q+1<0

.

Τότε θα είναι q-k-1>0

και θα είναι p|q-k-1

.

Και πάλι όμως q-k-1<kq+1=p

, άρα έχουμε άτοπο.

Μοναδική λύση λοιπόν είναι η (p, q)=(7, 3)

.

harrisp · #7

Διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε τα πιθανά υπόλοιπα του

με το

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 12:10 pm
Διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε τα πιθανά υπόλοιπα του με το .

Δεν ξέρω Χάρη αν εννοείς το παρακάτω.

Προφανώς p> q

Αν $p\equiv 1mod3,q\equiv 1mod3$

τότε το πρώτο μέλος διαιρείται με το

ενώ το δεύτερο όχι.

'Ομοια αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 2mod3$ .

Αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 1mod3$ η $p\equiv 1mod3,q\equiv 2mod3$

τότε το

διαιρεί το δεύτερο μέλος και δεν διαιρεί το πρώτο.

Συμπαιρένουμε ότι q=3

οπότε προκύπτει p=7

harrisp · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 12:21 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 12:10 pm
Διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε τα πιθανά υπόλοιπα του με το .
Δεν ξέρω Χάρη αν εννοείς το παρακάτω.

Προφανώς

Αν $p\equiv 1mod3,q\equiv 1mod3$

τότε το πρώτο μέλος διαιρείται με το ενώ το δεύτερο όχι.

'Ομοια αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 2mod3$ .

Αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 1mod3$ η $p\equiv 1mod3,q\equiv 2mod3$

τότε το διαιρεί το δεύτερο μέλος και δεν διαιρεί το πρώτο.

Συμπαιρένουμε ότι οπότε προκύπτει

Χρόνια Πολλά!
Ακριβώς κύριε Σταύρο.

Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση